Ответ:

Тождества доказаны

Объяснение:

1) Докажем тождество

[tex]4sin(\pi +\alpha )\cdot sin\left(\dfrac{4\pi }{3} +\alpha\right )\cdot sin\left(\dfrac{2\pi }{3} +\alpha\right )=sin2\alpha .[/tex]

Преобразуем левую часть тождества.

Применим формулу приведения

[tex]sin(\pi +\alpha )=-sin \alpha[/tex]

и формулу

[tex]sin\alpha \cdot sin\beta = \dfrac{1}{2} \cdot \left (cos(\alpha -\beta )-cos(\alpha +\beta )\right)[/tex]

[tex]4sin(\pi +\alpha )\cdot sin\left(\dfrac{4\pi }{3} +\alpha\right )\cdot sin\left(\dfrac{2\pi }{3} +\alpha\right )=\\\\=- 4sin\alpha \cdot \dfrac{1}{2} \cdot( cos\left( \dfrac{4\pi }{3} +\alpha-\dfrac{2\pi }{3} -\alpha\right)- cos\left( \dfrac{4\pi }{3} +\alpha+\dfrac{2\pi }{3} +\alpha\right))=\\\\=-2sin\alpha \cdot( cos\dfrac{2\pi }{3}-cos(2\pi +2\alpha )) =-2sin\alpha \cdot\left( -\dfrac{1 }{2}-cos2\alpha\right ) =\\\\=sin\alpha +2sin\alpha \cdot cos2\alpha[/tex]

Применим формулу

[tex]sin\alpha \cdot cos\beta = \dfrac{1}{2} \cdot \left (sin(\alpha +\beta )+sin(\alpha -\beta )\right)[/tex]

И получим:

[tex]sin\alpha +2sin\alpha \cdot cos2\alpha =sin\alpha +2\cdot \dfrac{1}{2} (sin3\alpha +sin(-\alpha ))=\\=sin\alpha +sin3\alpha -sin\alpha =sin3\alpha .[/tex]

Левая часть равна правой части и тождество доказано.

2) Докажем тождество

[tex]4sin(45^{0} -\alpha )\cdot sin(15^{0} +\alpha )\cdot cos (15^{0} -\alpha )=cos(45^{0}-3\alpha )[/tex]

Преобразуем левую часть тождества.

Вначале применим формулу произведения синусов.

[tex]4sin(45^{0} -\alpha )\cdot sin(15^{0} +\alpha )\cdot cos (15^{0} -\alpha )=\\\\=4\cdot \dfrac{1}{2} \cdot( cos(45^{0} -\alpha -15^{0} -\alpha )-cos(45^{0} -\alpha +15^{0} +\alpha))\cdot cos (15^{0} -\alpha )=\\\\=2\cdot( cos(30^{0} -2\alpha )-cos60^{0} )\cdot cos (15^{0} -\alpha )=\\\\=2\cdot\left( cos(30^{0} -2\alpha )-\dfrac{1}{2} \right)\cdot cos (15^{0} -\alpha )=\\\\=2cos(30^{0} -2\alpha )\cdot cos (15^{0} -\alpha )- cos (15^{0} -\alpha )[/tex]

Применим формулу

[tex]cos\alpha \cdot cos\beta = \dfrac{1}{2} \cdot \left (cos(\alpha +\beta )+cos(\alpha -\beta )\right)[/tex]

и получим

[tex]2\cdot \dfrac{1}{2} \cdot( cos(45^{0} -3\alpha )+cos(15^{0} -\alpha ))-cos(15^{0} -\alpha )=\\\\=cos(45^{0} -3\alpha )+cos(15^{0} -\alpha )-cos(15^{0} -\alpha )=\\\\=cos(45^{0} -3\alpha )[/tex]

Левая часть равна правой части и тождество доказано.