Ответ:

[tex]sin6\alpha +sin2\alpha =\dfrac{8\sqrt{3} }{9} .[/tex]

[tex]sin10\alpha -sin6\alpha =-\dfrac{28}{25\sqrt{5} }[/tex]

Объяснение:

Вычислить [tex]sin6\alpha +sin2\alpha[/tex] , если  [tex]sin2\alpha =\dfrac{\sqrt{3} }{3}[/tex]

Воспользуемся формулой [tex]sin\alpha +sin\beta =2sin\dfrac{\alpha +\beta }{2} cos \dfrac{\alpha -\beta }{2}[/tex]

[tex]sin6\alpha +sin2\alpha=2sin \dfrac{6\alpha +2\alpha }{2} \cdot cos \dfrac{6\alpha -2\alpha }{2} =2sin4\alpha \cdot cos2\alpha[/tex]

Воспользуемся формулой двойного угла

[tex]sin2\alpha =2sin\alpha cos\alpha[/tex]

[tex]2sin4\alpha \cdot cos2\alpha=2\cdot 2sin2\alpha\cdot cos2\alpha \cdot cos2\alpha =4sin2\alpha \cdot cos^{2} 2\alpha =\\=4sin2\alpha \cdot(1-sin^{2} 2\alpha )[/tex]

Если [tex]sin2\alpha =\dfrac{\sqrt{3} }{3}[/tex]  , то

[tex]4\cdot \dfrac{\sqrt{3} }{3}\cdot \left(1-\left(\dfrac{\sqrt{3} }{3}\right )^{2}\right) =4\cdot \dfrac{\sqrt{3} }{3}\cdot \left(1-\dfrac{3}{9}\right )=\dfrac{4\sqrt{3} }{3}\cdot \left(1-\dfrac{1}{3}\right )=\\\\=\dfrac{4\sqrt{3} }{3}\cdot \dfrac{2}{3} =\dfrac{8\sqrt{3} }{9} .[/tex]

Вычислить  [tex]sin10\alpha -sin6\alpha[/tex],    если  [tex]sin2\alpha =\dfrac{2\sqrt{5} }{5}[/tex].

Воспользуемся формулой [tex]sin\alpha -sin\beta =2sin\dfrac{\alpha -\beta }{2} cos \dfrac{\alpha +\beta }{2}[/tex]

[tex]sin10\alpha -sin6\alpha=2sin \dfrac{10\alpha -6\alpha }{2} cos\dfrac{10\alpha +6\alpha }{2} =2sin2\alpha \cdot cos 8\alpha =\\=2sin2\alpha ( 1-2sin^{2} 4\alpha )=2sin2\alpha\cdit( 1-2\cdot(2sin2\alpha cos2\alpha )^{2} )=\\=2sin2\alpha(1-2\cdot 4sin^{2} 2\alpha \cdot cos^{2} 2\alpha )=2sin2\alpha(1-8\cdot sin^{2} 2\alpha \cdot cos^{2} 2\alpha )=\\=2sin2\alpha(1-8\cdot sin^{2} 2\alpha \cdot (1-sin^{2} 2\alpha ))=2sin2\alpha(1-8\cdot sin^{2} 2\alpha +8sin^{4} 2\alpha )=[/tex]

[tex]=2sin2\alpha-16sin^{3} 2\alpha +16sin^{5} 2\alpha[/tex]

если  [tex]sin2\alpha =\dfrac{2\sqrt{5} }{5}=\dfrac{2}{\sqrt{5} }[/tex], то получим

[tex]2\cdot \dfrac{2}{\sqrt{5} } -16\cdot\left (\dfrac{2}{\sqrt{5} }\right)^{3} +16\cdot \left(\dfrac{2}{\sqrt{5} }\right)^{5} =\dfrac{4}{\sqrt{5} } -\dfrac{16\cdot8}{5\sqrt{5} } +\dfrac{16\cdot32}{25\sqrt{5} } =\\\\=\dfrac{4\cdot25-16\cdot8\cdot5+16\cdot32}{25\sqrt{5} } =\dfrac{100-16\cdot40+16\cdot32}{25\sqrt{5} } =\dfrac{100+16\cdot(32-40)}{25\sqrt{5} } =\dfrac{100+16\cdot(-8)}{25\sqrt{5} } =\dfrac{100-128}{25\sqrt{5} } =-\dfrac{28}{25\sqrt{5} }[/tex]