Verified answer

Ответ:

1. х ∈ R

2. функция не является четной или нечетной.

3. х = 0; у = 5;

у = 0; х₁ ≈ -4;     х₂ ≈ 0,6;     х₃ ≈ 6,4

4. Функция непрерывна, асимптот нет.

5. Функция возрастает на промежутках: (∞; -2], [4; +∞).

Функция убывает на промежутке [-2; 4]

х max = -2;     x min = 4

6. Функция выпукла на промежутке [-∞; 1].

Функция вогнута на промежутке [1; +∞)

х перегиба = 1

Пошаговое объяснение:

Исследовать функцию и построить график.

[tex]\displaystyle \bf y=\frac{1}{3}x^3-x^2-8x+5[/tex]

1. Область определения функции.

х ∈ R

2. Четность, нечетность.

• Если f(-x) = f(x), то функция четная, если f(-x) = -f(x) - нечетная.

[tex]\displaystyle \bf f(-x) = -\frac{1}{3}x^3-x^2+8x+5[/tex]

f(-x) ≠ f(x) ≠ -f(x)   ⇒   функция не является четной или нечетной.

3. Пересечение с осями.

С осью Оу   ⇒   х = 0

х = 0; у = 5

С осью Ох   ⇒   у = 0

[tex]\displaystyle \frac{1}{3}x^3-x^2-8x+5=0[/tex]

х₁ ≈ -4;     х₂ ≈ 0,6;     х₃ ≈ 6,4

(ответ получен с помощью онлайн кальулятора)

4. Функция непрерывна, асимптот нет.

5. Возрастание, убывание, точки экстремумов.

Найдем производную, приравняем к нулю и найдем корни.

[tex]\displaystyle y'=\frac{1}{3}\cdot 3x^2-2x-8=x^2-2x-8\\[/tex]

y' = 0   ⇒   x² - 2x - 8 = 0

По теореме Виета:

х₁ = 4;     х₂ = -2

Отметим их на числовой оси и определим знаки производной на промежутках.

[tex]+++[-2]---[4]+++[/tex]

• Если "+" - функция возрастает, если "-" - функция убывает.

Функция возрастает на промежутках: (∞; -2], [4; +∞).

Функция убывает на промежутке [-2; 4]

• Если производная меняет знак с плюса на минус, то в данной точке наблюдается максимум, если с минуса на плюс, то в данной точке  - минимум.

х max = -2;     x min = 4

[tex]\displaystyle y(-2)=\frac{1}{3 }\cdot(-8)-4+16+5=-6 \frac{2}{3}+21=14\frac{1}{3} \\\\y(4)=\frac{1}{3}\cdot 64-16-32+5=-21\frac{2}{3}[/tex]

6. Выпуклость, вогнутость.

Найдем производную второго порядка и приравняем ее к нулю.

y'' = 2x - 2

y'' = 0;     2(x - 1) = 0   ⇒   x = 1

Отметим корни на числовой оси и определим знаки второй производной на промежутках.

[tex]---[1]+++[/tex]

• Если производная второго порядка положительна, функция вогнута, если отрицательна - выпукла.

Функция выпукла на промежутке [-∞; 1].

Функция вогнута на промежутке [1; +∞)

х перегиба = 1

[tex]\displaystyle y(1)=\frac{1}{3}-1-8+5=-3\frac{2}{3}[/tex]

Строим график.

#SPJ1