Verified answer

Ответ:

   [tex]\bf y=\dfrac{2}{x^2+2x}\ \ ,\ \ \ ODZ:\ x^2+2x\ne 0\ \ \to \ \ x\ne 0\ ,\ x\ne -2[/tex]  

Вертикальными асимптотами будут прямые  х=0  и  х= -2 .

Действительно ,

[tex]\bf \lim\limits _{x \to 0}\ \dfrac{2}{x^2+2x}=\Big[\dfrac{2}{0}\Big]=\infty \ \ ,\ \ \ \ \lim\limits _{x \to -2}\ \dfrac{2}{x^2+2x}=\Big[\dfrac{2}{0}\Big]=\infty[/tex]  

Наклонную асимптоту ищем в виде  [tex]\bf y=kx+b[/tex]  .

[tex]\bf k=\lim\limits _{x \to \infty }\dfrac{f(x)}{x}=\lim\limits _{x \to \infty}\dfrac{2}{x\, (x^2+2x)}=\lim\limits _{x \to 0}\ \dfrac{2}{x^3+2x^2}=\Big[\dfrac{2}{\infty }\Big]=0\\\\\\b=\lim\limits _{x \to \infty }(f(x)-kx)=\lim\limits _{x \to \infty }\Big(\dfrac{2}{x^2+2x}-0\cdot x\Big)=\Big[\dfrac{2}{\infty }\Big]=0[/tex]  

Уравнение асимптоты имеет вид :  [tex]\bf y=0[/tex]  (ось ОХ) . Это горизонтальная асимптота , частный случай наклонной асимптоты .