Ответ:

Выделяем полный квадрат в знаменателе из квадратного трёхчлена .

[tex]\bf \displaystyle \int \frac{4x+8}{x^2+6x+10}\, dx=4\int \frac{x+2}{(x+3)^2+1}\, dx=\\\\\\=4\int \frac{x}{(x+3)^2+1}\, dx+8\int \frac{dx}{(x+3)^2+1}=\\\\\\=4\int \frac{(x+3)-3}{(x+3)^2+1}\, dx+8\int \frac{dx}{(x+3)^2+1}=\\\\\\=2\int \frac{d((x+3)^2+1)}{(x+3)^2+1}-12\int \frac{dx}{(x+3)^2+1}+8\int \frac{dx}{(x+3)^2+1}=\\\\\\=2\int \frac{d((x+3)^2+1)}{(x+3)^2+1}-4\int \frac{dx}{(x+3)^2+1}=[/tex]      

[tex]\bf \displaystyle =2\cdot ln\Big|\, (x+3)^2+1\, \Big|-4\cdot arctg(x+3)+C=\\\\\\=2\cdot ln(x^2+6x+10)-4\cdot arctg(x+3)+C[/tex]