Пусть точка O есть проекция точки S на плоскость (ABC). Проведем прямую CF. Понятно, что эта прямая проходит через точку O. Пусть прямая CF пересекает MD в точке T. Рассмотрим плоскость (SCF). Проведем из точки T прямую, параллельную SO. Эта прямая пересечет SC в точке K. Получили плоскость (KMD). Так как SO - высота пирамиды, то SO перпендикулярна (ABC). Так как KT||SO, то KT⊥(ABC). Тогда по признаку перпендикулярности двух плоскостей (KT∈(KMD)) получили, что (KMD)⊥(ABC), то есть (KMD) есть плоскость α из условия задачи.
Теперь перейдем к решению пункта а:
Проведем AD. Получили треугольник ADM, где O - середина стороны AD. OT||AM, так как OT часть CF, AM часть AB и CF||AB. Тогда OT есть средняя линия ADM => T - середина MD => KT и медиана, и высота KMD => KMD равнобедренный => KM=KD.
Доказано.
Решим теперь пункт б:
Выше было показано, что KT⊥(ABC), а значит и основанию MCD пирамиды. То есть KT - высота пирамиды.
siestarjoki
высота KT=3/4 исходной, площадь CDM=1/4 исходной, тогда объем CDKM =3/16 исходного. Объем исходной пирамиды 1/3 *6 *12^2 *v3/4 *3v3*v35=648v35. Ответ: 243v35/2
MrSolution
В самом конце переглючил и умножил в формуле объема на SO, а не KT. Тогда 1/3 * 54sqrt(3) * 9sqrt(105)/4 = 243sqrt(35) / 2. Спасибо, что поправили.
Answers & Comments
Verified answer
Ответ:
(см. объяснение)
Объяснение:
Пусть точка O есть проекция точки S на плоскость (ABC). Проведем прямую CF. Понятно, что эта прямая проходит через точку O. Пусть прямая CF пересекает MD в точке T. Рассмотрим плоскость (SCF). Проведем из точки T прямую, параллельную SO. Эта прямая пересечет SC в точке K. Получили плоскость (KMD). Так как SO - высота пирамиды, то SO перпендикулярна (ABC). Так как KT||SO, то KT⊥(ABC). Тогда по признаку перпендикулярности двух плоскостей (KT∈(KMD)) получили, что (KMD)⊥(ABC), то есть (KMD) есть плоскость α из условия задачи.
Теперь перейдем к решению пункта а:
Проведем AD. Получили треугольник ADM, где O - середина стороны AD. OT||AM, так как OT часть CF, AM часть AB и CF||AB. Тогда OT есть средняя линия ADM => T - середина MD => KT и медиана, и высота KMD => KMD равнобедренный => KM=KD.
Доказано.
Решим теперь пункт б:
Выше было показано, что KT⊥(ABC), а значит и основанию MCD пирамиды. То есть KT - высота пирамиды.
Выполним расчеты:
[tex]CD=12\\MC^2=BC^2+BM^2-2\cdot BC\cdot BM\cdot\cos\angle CBM=144+36+12\cdot6=252[/tex]
Проведем BD⊥AB (боковой угол BCD равен 30°, 120°-30°=90°) и найдем BD:
[tex]BD^2=BC^2+CD^2-2\cdot BC\cdot CD\cdot\cos\angle BCD=3BC^2\\MD^2=BD^2+BM^2=3BC^2+BM^2=468[/tex]
Опускаем на прямую CD перпендикуляр MH.
Тогда при [tex]CH=x,\;MH=y[/tex]:
[tex]\left\{\begin{array}{c}MD^2=(12+x)^2+y^2\\MC^2=x^2+y^2\end{array}\right,\;\Rightarrow\;y=9\sqrt{3}[/tex]
[tex]S_{MCD}=\dfrac{1}{2}\cdot12\cdot9\sqrt{3}=54\sqrt{3}[/tex]
Треугольники CKT и CSO подобны (один угол общий, другие равны 90°). CO=AB=12, OT=3 => CT=12-3=9 => k=9/12=3/4 => KT=3SO/4.
[tex]AO=12\\SO=\sqrt{33^2-144}=3\sqrt{105}\\KT=\dfrac{9\sqrt{105}}{4}[/tex]
[tex]V_{CDKM}=\dfrac{1}{3}\cdot54\sqrt{3}\cdot\dfrac{9\sqrt{105}}{4}=\dfrac{243\sqrt{35}}{2}[/tex]
Задание выполнено!