4 + 2πl , l ∈ Z как его получили объясните пожалуйста понятно...

July 2022 1 15 Report

Помогите!!! Решите неравенство sin x < cos x .
правильный ответ:
2πl + 5π/4 < x < 9π/4 + 2πl , l ∈ Z
как его получили объясните пожалуйста понятно

Answers & Comments

Medved23

Поступим следующим образом: косинус перенесем влево с противоположным знаком и обе части разделим на $\sqrt{2}$ (это же самое, что умножить на дробь $\frac{1}{\sqrt2}$ ) Имеем:

$\sin x-\cos x$

Заметим, что

$\frac{1}{\sqrt2}=\cos\frac{\pi}{4}=\sin \frac{\pi}{4}$

Если переписать неравенство в следующем виде -

$\cos\frac{\pi}{4}\sin x-\sin \frac{\pi}{4}\cos x$ ,

то легко можно заметить в левой части формулу синуса разности аргументов. Окончательно имеем:

$\sin(x-\frac{\pi}{4})$

Сделаем замену: $x-\frac{\pi}{4}=t$ . Таким образом мы свели исходное неравенство к наипростейшему вида $\sin t$ . Решим его при помощи числовой окружности (вложение). Окончательно имеем: $\pi+2\pi n$ . Возвращаемся к обратной замене: $\pi+2\pi n$ .