Ответ и Пошаговое объяснение:

Нужно знать: Если число z представлен в тригонометрической форме

[tex]\tt z = |z| \cdot (cos\alpha +i \cdot sin\alpha ),[/tex]

то корень n - ой степени определяется по формулам

[tex]\tt (\sqrt[n]{z})_m = \sqrt[n]{|z|} \cdot (cos\dfrac{\alpha+2 \cdot \pi \cdot m}{n} +i \cdot sin\dfrac{\alpha+2 \cdot \pi \cdot m}{n} ),\\\\m=0, 1,2,...,n-1.[/tex]

Решение.

Сначала представим число -1 в тригонометрической форме:

[tex]\tt -1 = |-1| \cdot (cos\pi +i \cdot sin\pi).[/tex]

Тогда

[tex]\displaystyle \tt (\sqrt[4]{-1})_0 = \sqrt[4]{|-1|} \cdot (cos\dfrac{\pi +2 \cdot \pi \cdot 0}{4} +i \cdot sin\dfrac{\pi +2 \cdot \pi \cdot 0}{4} )=\\\\= 1 \cdot (cos\dfrac{\pi }{4} +i \cdot sin\dfrac{\pi }{4} )=\frac{\sqrt{2} }{2} +i \cdot \frac{\sqrt{2} }{2} ;[/tex]

[tex]\displaystyle \tt (\sqrt[4]{-1})_1 = \sqrt[4]{|-1|} \cdot (cos\dfrac{\pi +2 \cdot \pi \cdot 1}{4} +i \cdot sin\dfrac{\pi +2 \cdot \pi \cdot 1}{4} )=\\\\= 1 \cdot (cos\dfrac{3 \cdot \pi }{4} +i \cdot sin\dfrac{3 \cdot \pi }{4} )=-\frac{\sqrt{2} }{2} +i \cdot \frac{\sqrt{2} }{2} ;[/tex]

[tex]\displaystyle \tt (\sqrt[4]{-1})_2 = \sqrt[4]{|-1|} \cdot (cos\dfrac{\pi +2 \cdot \pi \cdot 2}{4} +i \cdot sin\dfrac{\pi +2 \cdot \pi \cdot 2}{4} )=\\\\= 1 \cdot (cos\dfrac{5 \cdot \pi }{4} +i \cdot sin\dfrac{5 \cdot \pi }{4} )=-\frac{\sqrt{2} }{2} -i \cdot \frac{\sqrt{2} }{2} ;[/tex]

[tex]\displaystyle \tt (\sqrt[4]{-1})_3 = \sqrt[4]{|-1|} \cdot (cos\dfrac{\pi +2 \cdot \pi \cdot 3}{4} +i \cdot sin\dfrac{\pi +2 \cdot \pi \cdot 3}{4} )=\\\\= 1 \cdot (cos\dfrac{7 \cdot \pi }{4} +i \cdot sin\dfrac{7 \cdot \pi }{4} )=\frac{\sqrt{2} }{2} -i \cdot \frac{\sqrt{2} }{2} .[/tex]

#SPJ1