Перед нами задача Коши. Введём обозначение [tex]S'(t)=V(t)[/tex], где [tex]S(t)[/tex] — функция, описывающая изменение массы. Задача задана двумя условиями:

[tex]\begin{cases}S'(t)=-km_0 \, e^{-kt} \\S(t_0)=m_0\end{cases}[/tex]

Найдём [tex]S(t):[/tex]

[tex]S(t)=\displaystyle \int V(t) \, dt=\int -km_0 \, e^{-kt} \, dt=-km_0\int e^{-kt}dt=\\=-km_0\int \left(e^{-k}\right)^t dt=-km_0 \cdot \dfrac{\left(e^{-k}\right)^t}{\ln e^{-k}}+C=\\=-km_0 \cdot \dfrac{e^{-kt}}{-k}+C=m_0 \, e^{-kt}+C[/tex]

Подберём константу. В момент времени [tex]t=t_0[/tex] масса должна быть равна [tex]m_0[/tex] :

[tex]S(t_0)=m_0 \cdot e^{-kt_0}+C=m_0\\C=m_0-m_0 \, e^{-kt_0}=m_0 \cdot \left(1-e^{-kt_0}\right)[/tex]

Откуда получим ответ:

[tex]S(t)=m_0 \, e^{-kt}+m_0 \cdot \left(1-e^{-kt_0}\right)[/tex]

Можно ещё вынести за скобки [tex]m_0[/tex]:

[tex]S(t)=m_0 \cdot \left(e^{-kt}-e^{-kt_0}+1\right).[/tex]

На скриншоте проверка на компьютере.

Если что-нибудь непонятно — спрашивай.