Ответ:

Для того, щоб знайти розв'язок рівняння, спочатку знайдемо його загальний розв'язок. Для цього знайдемо спочатку характеристичне рівняння:

r^2 - 2r = 0

Звідси маємо два корені: r1 = 0 та r2 = 2. Тому загальний розв'язок однорідного рівняння має вигляд:

y_h(x) = c1 + c2 * e^(2x)

де c1 та c2 - довільні сталі.

Тепер знайдемо частинний розв'язок неоднорідного рівняння методом невизначених коефіцієнтів. Припустимо, що шуканий частинний розв'язок має вигляд:

y_p(x) = Ax^2 + Bx + C

Підставляємо його до початкового рівняння та знаходимо значення коефіцієнтів A, B та C:

y_p''(x) - 2y_p'(x) = x^2 - 1

2A - 2Ax = x^2 - 1

A = 1/2, B = 0, C = -3/4

Отже, частинний розв'язок має вигляд:

y_p(x) = 1/2 * x^2 - 3/4

Загальний розв'язок неоднорідного рівняння має вигляд:

y(x) = y_h(x) + y_p(x) = c1 + c2 * e^(2x) + 1/2 * x^2 - 3/4

Застосуємо початкові умови, щоб знайти конкретні значення сталих c1 та c2:

y(0) = c1 - 3/4 = 0 => c1 = 3/4

y'(x) = 2c2 * e^(2x) + x

y'(0) = 2c2 + 0 = 9/4 => c2 = 9/8

Тому розв'язок задачі Коші має вигляд:

y(x) = 3/4 + 9/8 * e^(2x) + 1/2 * x^2 - 3/4

або

y(x) = 9/8 * e^(2x) + 1/2 * x^2

Объяснение: