Ответ:

Рассмотрим треугольник AOB, где O - центр окружности, проведенной под прямым углом, AB - диаметр окружности.

Так как О - центр окружности, то радиус окружности равен AO = BO.

Также, по условию, АК = КВ = 4 см.

Тогда в треугольнике АКО:

$$\cos \angle AOK = \dfrac{AK}{AO} = \dfrac{4}{AO}$$

Аналогично,

$$\cos \angle BOK = \dfrac{BK}{BO} = \dfrac{4}{BO}$$

Так как углы AOK и BOK равны (они смежные вертикальные), то их косинусы равны:

$$\cos \angle AOK = \cos \angle BOK$$

$$\dfrac{4}{AO} = \dfrac{4}{BO}$$

$$AO = BO$$

То есть, радиус окружности равен:

$$AO = BO = \dfrac{AB}{2}$$

Таким образом, АП - это высота треугольника АКО, опущенная на сторону АК.

Используем формулу для высоты треугольника:

$$AP = AK \cdot \cos \angle AOK = 4 \cdot \dfrac{AO}{AB} = 4 \cdot \dfrac{\frac{AB}{2}}{AB} = 2 \text{ см}$$

Ответ: АР = 2 см.