Найти наименьшее значение функции y=|x-1|+|x-2|+...+|x-n|, n-натуральное. Это алгебра 9 класс профиль, решать без производной. есть ответ: при четном n, n^2/4, при нечетном (n^2-1)/4, не понимаю как получен этот ответ.
More Questions From This User See All
Answers & Comments
Verified answer
Минимум суммы двух модулей достигается тогда, когда где все модули раскрываются так, что функция превращается в константу (все иксы уничтожаются). Для этого, очевидно, один модуль должен раскрываться с плюсом, а второй с минусом.То есть сумма модулей |x-a|+|x-b|, где a≤b имеет минимум равный b-a, когда x∈[a; b], а во всех остальных случаях |x-a|+|x-b|>b-a. Это можно обобщить и для большего числа модулей. У нас есть функция:
y=|x-1|+|x-2|+...+|x-n|
Минимум |x-1|+|x-n| достигается при любом x∈[1; n] и равен n-1
Минимум |x-2|+|x-(n-1)| равен n-1-2=n-3
Если мы будем так продолжать, то либо раскроем все модули и останется константа, которая и будет минимумом, либо останется один единственный модуль и минимум будет там где он равен нулю, причем этот модуль будет стоять точнехонько в серединке. Легко сообразить что первый случай будет иметь место при четных n, а второй при нечетных.
Теперь решаем. Пусть n - четное число.
Тогда минимум будет равен n-1+n-1-2+n-1-3+...n/2+1-n/2
Это арифметическая прогрессия в которой n/2 членов. Найдем ее сумму:
S=(n-1+1)*n/4=n²/4
Это и есть максимум функции при четных n.
Если n нечетное, то прогрессия будет выглядеть так:
n-1-1+n-1-2+n-1-3+...(n-1)/2+1-(n-1)/2+1
В ней (n-1)/2 членов и ее сумма S=(n+1)(n-1)/4=(n²-1)/4.
Если что то непонятно, пиши - попробую пояснить.