4. Прямая СД перпендикулярна плоскости остроугольного треугольника АВС. СК - его высота. Докажите, что прямые ДК и АВ взаимно перпендикулярны. Найдите расстояние от точки А до плоскости ДКС, если ДА = √(2) см, а ДАК = 45°.
5. В треугольнике АВС АС = ВС = 10 см, В = 30°. Прямая ВД перпендикулярна плоскости треугольника, ВД = 5 см. Найдите расстояние от точки Д до прямой АС и расстояние от точки В до плоскости АДС.
5. В треугольнике АВС АС = ВС = 10 см, В = 30°. Прямая ВД перпендикулярна плоскости треугольника, ВД = 5 см. Найдите расстояние от точки Д до прямой АС и расстояние от точки В до плоскости АДС.
Answers & Comments
Verified answer
4.CD⊥ (ΔABC) ⇒ CD⊥CA; CD⊥CB
CK⊥AB - высота ΔABC ⇒
DK⊥AB по теореме о трех перпендикулярах. ⇒
(DKC)⊥(ABC) ⇒ расстояние от точки А до плоскости DKC будет равно длине перпендикуляра AK
ΔDKA - прямоугольный, ∠DKA = 90°; ∠DAK = 45° ⇒
AK = DA*cos∠DAK = √2*(√2/2) = 1
Ответ: расстояние от точки А до плоскости DKC равно 1 см
5. DB⊥(ΔABC) ⇒ DB⊥BA; DB⊥BC
ΔABC: АС = ВС = 10 см, ∠В = 30° ⇒
ΔABC - равнобедренный, ∠A=∠B = 30°;
∠BCA = 180°-2*30°=120° ⇒ высота BK⊥AС лежит вне треугольника
ΔBKC - прямоугольный: ∠BKC = 90°; BC = 10см
∠BCK = 180° - ∠BCA = 60° ⇒
BK = BC*sin∠BCA = 10*√3/2 = 5√3 см
ΔDBK - прямоугольный: ∠DBK = 90°
DB = 5 см; BK = 5√3 см
По теореме Пифагора
DK² = DB² + BK² = 5² + (5√3)² = 100
DK = 10 см
DB⊥BK; BK⊥AC ⇒ DK⊥AC (по теореме о трех перпендикулярах) ⇒
DK = 10 см - расстояние от точки D до прямой AC
Высота BM
Так как (ΔDBK)⊥(ADK) ⇒
BM = 2,5√3 см - расстояние от точки В до плоскости ADC
Ответ: расстояние от точки D до прямой AC 10 см;
расстояние от точки В до плоскости ADC 2,5√3 см