Verified answer

Из центра О ,вписанной в прямоугольный ∆АВС окружности,проведен перпендикуляр OS до плоскости АВС .Найти расстояние от точки S до катета ВС, если АС=6 ,угол С=β,а длина перпендикуляра равна радиусу вписанной окружности

Объяснение.

Радиус вписанной в прямоугольный

треугольник окружности равен

r=(AB+BC-AC)/2 .

AB=AC·sinβ, AB=6·sinβ.

BC=AC·cosβ, BC=6·cosβ.

r=(6·cosβ+6·sinβ-6)/2=(6(cosβ+sinβ-1))/2=3(cosβ+sinβ-1)

OК=r. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, ОК⊥ВС. Тогда по т. о трех перпендикулярах SК⊥ ВС. Поэтому расстоянием от S до ВС будет отрезок SК. Для ∆SОК, по т Пифагора

SК²=SO²+OК² , SК²=2r² .

SК=√2•r,

SК=√2•3(cosβ+sinβ-1)=

=3√2(cosβ+sinβ-1).