Позначимо висоту трикутника через `h`, а гіпотенузу через `c`. За теоремою Піфагора маємо:

```

c^2 = a^2 + b^2

```

де `a` та `b` - катети трикутника.

Оскільки висота `h` ділить гіпотенузу на відрізки 40 см і 10 см, то можемо записати:

```

c = 40 + 10 = 50 см

```

З іншого боку, висота `h` розділяє гіпотенузу на дві частини, які відповідають катетам трикутника:

```

a = h,   b = c - h

```

Підставляючи ці значення в теорему Піфагора, маємо:

```

c^2 = a^2 + b^2

50^2 = h^2 + (50 - h)^2

2500 = h^2 + 2500 - 100h + h^2

2h^2 - 100h + 2500 = 0

h^2 - 50h + 1250 = 0

```

Розв'язуючи це квадратне рівняння, отримуємо два корені:

```

h1 = 25 + 5√21 ≈ 47.2 см

h2 = 25 - 5√21 ≈ 2.8 см

```

Оскільки висота трикутника повинна бути додатним числом, то правильним рішенням є `h = 25 + 5√21 ≈ 47.2 см`.

Отже, висота прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, ділить її на відрізки 40 см і 10 см, дорівнює близько `47.2 см`.