Дослідити систему на сумісність. Відповідь пишіть в зошиті і максимально розписуйте, будь ласка! Завдання на фото
Answers & Comments
MargAnyakkaunttopchi
Для дослідження системи на сумісність, ми можемо скористатись методом Гауса та зв'язаною з ним матричною формою запису системи лінійних рівнянь.
Звідси можна побачити, що кількість ненульових рядків у розширеній матриці (3) дорівнює кількості ненев'язних змінних (3), тому система має єдиний розв'язок.
Зворотнім ходом методу Гауса, знаходимо розв'язок системи:
Answers & Comments
Матрична форма запису системи:
| 1 1 3 | | x1 | | 7 |
| 2 3 1 | * | x2 | = | 1 |
| 3 2 1 | | x3 | | 6 |
Для дослідження системи на сумісність, ми можемо застосувати метод Гауса для зведення матриці до трикутної форми.
Крок 1: Множимо рядок R1 на 2 та віднімаємо від рядка R2, щоб у коефіцієнтах перед х1 вийшла 0.
| 1 1 3 | | x1 | | 7 |
| 0 1 -5 | * | x2 | = |-13|
| 3 2 1 | | x3 | | 6 |
Крок 2: Множимо рядок R1 на 3 та віднімаємо від рядка R3, щоб у коефіцієнтах перед х1 вийшла 0.
| 1 1 3 | | x1 | | 7 |
| 0 1 -5 | * | x2 | = |-13|
| 0 -1 -8 | | x3 | |-9 |
Крок 3: Множимо рядок R2 на -1 та додаємо до рядка R3, щоб у коефіцієнтах перед х2 вийшла 0.
| 1 1 3 | | x1 | | 7 |
| 0 1 -5 | * | x2 | = |-13|
| 0 0 -13 | | x3 | |-22|
Отримали трикутну матрицю.
Звідси можна побачити, що кількість ненульових рядків у розширеній матриці (3) дорівнює кількості ненев'язних змінних (3), тому система має єдиний розв'язок.
Зворотнім ходом методу Гауса, знаходимо розв'язок системи:
| x1 | | 2 |
| x2 | = |-3 |
| x3 | | 2 |
Отже, система сумісна та має єдиний розв'язок x1
Verified answer
Відповідь:
Система сумістна.
Х1 = 3; Х2 = -2; Х3 = 1.
Покрокове пояснення:
1) Маємо систему рівнянь:
2Х1 + Х2 + 3Х3 = 7 ( 1 )
2Х1 + 3Х2 + Х3 = 1 ( 2 )
3Х1 + 2Х2 + Х3 = 6 ( 3 )
2) Віднімемо від рівняння ( 1 ) рівняння ( 2 ), Х1 - анулюються:
-2Х2 + 2Х3 = 6
Розділимо рівняння на ( - 2 ):
Х2 - Х3 = -3 ( 4 )
3) Віднімемо від рівняння ( 2 ) рівняння ( 3 ), Х3 - анулюються:
-Х1 + Х2 = -5
Помножимо рівняння на ( -1 ):
Х1 - Х2 = 5 ( 5 )
4) Помножимо рівняння ( 1 ) на 2 та віднімемо від нього рівняння ( 3 ), Х2 - анулюються:
Х1 + 5Х3 = 8 ( 6 )
5) Отримали систему рівнянь:
Х2 - Х3 = -3 ( 4 )
Х1 - Х2 = 5 ( 5 )
Х1 + 5Х3 = 8 ( 6 )
6) Виразимо Х1 через Х2 у рівнянні ( 5 ):
Х1 = Х2 + 5 ( 7 )
7) Підставимо рівняння ( 7 ) до рівняння ( 6 ):
Х2 + 5 + 5Х3 = 8
Х2 + 5Х3 = 3 ( 8 )
8) Віднімемо від рівняння ( 8 ) рівняння ( 4 ), Х2 - анулюються
6Х3 = 6
Х3 = 1 ( 9 )
9) Підставимо Х3 з рівняння ( 9 ) до рівняння ( 4 ):
Х2 - 1 = -3
Х2 = -2 ( 10 )
10) Підставимо Х2 з рівняння ( 10 ) до рівняння ( 5 ):
Х1 - ( - 2 ) = 5
Х1 = 3 ( 11 )
11 ) Маємо рішення системи рівнянь:
Х1 = 3 ( 11 )
Х2 = -2 ( 10 )
Х3 = 1 ( 9 )
Перевірка:
Підставимо Х1, Х2 та Х3 з рівнянь ( 9 ), ( 10 ) та ( 11 ) до рівнянь ( 1 ), ( 2 ) та ( 3 ):
1) 2 × 3 + ( - 2 ) + 3 = 7
6 - 2 + 3 = 7
7= 7
2) 2 × 3 + 3 × ( - 2 ) + 1 = 1
6 - 6 + 1 = 1
1 = 1
3) 3 × 3 + 2 × ( - 2 ) + 1 = 6
9 - 4 + 1 = 6
6 = 6
Все вірно.
Система сумістна, має рішення: Х1 = 3, Х2 = -2 та Х3 = 1.