Ответ:

[tex]1) ~~ -\dfrac{1}{\sin ^2x }+\dfrac{2}{1+\sin 2x} \\\\\\ 2) ~~ -\sin 2x[/tex]

Объяснение:

1) f(x) = ctgx + tg (x- π/4)

Воспользуемся формулой

   
[tex](u \pm v)'= u ' \pm v'[/tex]                      

Тогда
                                                                       
[tex]f'(x) = \mathrm{ctg}' x +\mathrm{tg'}(x- \frac{\pi }{4} ) = -\dfrac{1}{\sin^2x} +\dfrac{1}{\cos^2(x-\frac{\pi }{4} )} =-\dfrac{1}{\sin ^2x }+\dfrac{2}{1+\sin 2x}[/tex]

[tex]\cos^2( x-\frac{\pi }{4} ) =\left (\cos x \cdot \cos \frac{\pi }{4} +\sin x \cdot \sin \frac{\pi }{4} \right )^2 = \left ( \dfrac{\sqrt{2} }{2} (\cos x+\sin x)\right )^2 =\dfrac{1+\sin 2x }{2}[/tex]

2) f(x) = cos²x

Воспользуемся формулой

[tex](f(g(x)))' = f'(g(x)) g'(x)[/tex]

Тогда

[tex]f(x) =\cos^2 x = (\cos x)^2 \\\\ f'(x )= 2\cos x(\cos x)' =2 \cos x \cdot (-\sin x )=-\sin 2x[/tex]