Ответ:

1. Градусная мера угла между прямыми ОА и АР равна 60°.

2. Градусная мера угла между боковым ребром и проекцией этого ребра на плоскость основания равна 60°.

Объяснение:

1. Точка О - центр квадрата АВСD, Длина стороны которого равна 6√2. Oтрезок OP перпендикулярен плоскости квадрата. Найти градусную меру угла между прямыми ОА и АР, еспи OP = 6√3.

1) 75°; 2) 60°; 3) 45°; 4) 30°; 5) 15°.

2. В правильной четырехугольной пирамиде тангенс угла между боковым ребром и смежной стороной основания равен √7! Найти градусную меру угла между боковым ребром и проекцией этого ребра на плоскость основания.

1) 75°; 2) 60°; 3) 45°; 4) 30°; 5) 15°.

1. Дано: ABCD - квадрат;

О - центр квадрата;

ОР ⊥ ABCD;

AD = 6√2;   OP = 6√3.

Найти: ∠РАО;

Решение:

• Центр квадрата - пересечение диагоналей.

Рассмотрим ΔACD - прямоугольный.

Найдем диагональ АС:

• Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

АС² = AD² + CD² = 72 + 72 = 144   ⇒   AC = 12

• Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.

⇒ АО = ОС = 6.

Рассмотрим ΔАРО.

• Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

⇒ ΔАРО - прямоугольный.

• Тангенс угла - отношение противолежащего катета к прилежащему.

tg∠PAO = PO/AO = 6√3/6 = √3

⇒ ∠PAO = 60°

2. Дано: PABCD - правильная пирамида.

tg∠PDC = √7;

Найти: угол между боковым ребром и проекцией этого ребра на плоскость основания.

Решение:

РО - высота пирамиды   ⇒   ОD - проекция PD

⇒ ∠PDO - искомый угол.

• В основании правильной пирамиды лежит квадрат, а все боковые грани - равнобедренные треугольники.

⇒ ABCD - квадрат.

Пусть сторона квадрата равна 2а, ∠PDC = α.

Из ΔABD найдем BD по теореме Пифагора:

ВD² = AB² + AD² = 4a² + 4a² = 8a²   ⇒   BD = a√8 = 2√2 a

• Диагонали квадрата точкой пересечения делится пополам.

⇒ OD = a√2

Проведем ОЕ ⊥ CD. Е и Р соединим.

Прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной перпендикулярно ее проекции, перпендикулярна и самой наклонной.

⇒ РЕ ⊥ CD.

Рассмотрим ΔDPC - равнобедренный.

• В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой.

⇒ DE = EC = a

Рассмотрим ΔDPE - прямоугольный.

tg α = √7

PE/DE = tg α

PE/a = √7   ⇒   PE = a√7

По теореме Пифагора:

PD² = PE² + DE² = 7a² + a² = 8a²   ⇒  PD = a√8 = 2√2 a

Рассмотрим ΔOPD - прямоугольный.

• Косинус угла - отношение прилежащего катета к гипотенузе.

cos∠PDO = OD/PD = (a√2)/(2√2a) = 1/2

⇒ ∠PDO = 60°

#SPJ1