Verified answer

Ответ:

[tex]\displaystyle \bf x(y-1)\cdot \dfrac{dy}{dx}=y^2\ \ \ ,\ \ \ y(e)=1\\\\\\\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y^2}{x(y-1)}\ \ \Rightarrow \ \ \dfrac{(y-1)\, dy}{y^2}=\dfrac{dx}{x}\ \ \ ,\ \ \int \dfrac{(y-1)dy}{y^2}=\int \dfrac{dx}{x}\ \ ,\\\\\\\int \dfrac{(y-1)dy}{y^2}=\dfrac{dx}{x}\ \ ,\ \ \ \int \Big(\frac{1}{y}-\frac{1}{y^2}\Big)\, dy=\int \frac{dx}{x}\ \ ,[/tex]  

Частный интеграл:  [tex]\bf \ln|\, y\, |+\dfrac{1}{y}=ln|\, x\, |+C[/tex]  

Подставим начальные условия и найдём значение С .

[tex]\bf y(e)=1\ ,\ \ ln1+1=lne+C\ \ \Rightarrow \ \ 0+1=1+C\ \ ,\ \ C=0[/tex]  

Частный интеграл:  [tex]\bf \ln|\, y\, |+\dfrac{1}{y}=ln|\, x\, |[/tex]   .