Verified answer

Ответ:

Задача Коши .

[tex]\displaystyle \bf y'=\sqrt{1-y^2}\ \ \ ,\ \ \ x=1\ ,\ y=\dfrac{1}{2}\\\\\\\dfrac{dy}{dx}=\sqrt{1-y^2}\ \ ,\ \ \ \int \frac{dy}{\sqrt{1-y^2}}=\int \ dx\ \ ,[/tex]  

[tex]\bf arcsin\, y=x+C[/tex]  - общее решение.

Теперь подставим начальные условия в общее решение, найдём значение const .

[tex]\bf arcsin\dfrac{1}{2}=1+C\ \ \to \ \ \ \dfrac{\pi }{6}=1+C\ \ ,\ \ C=\dfrac{\pi }{6}-1[/tex]  

Частное решение:   [tex]\bf arcsiny=x+\dfrac{\pi }{6}-1\ \ ,\ \ y=sin(x+\dfrac{\pi }{6}-1)[/tex]  .