Ответ:

Позначимо катети прямокутного трикутника через a та b. Тоді за умовою задачі можна записати:

b/a = 4/3

Знайдемо відрізки гіпотенузи, на які поділяє її бісектриса. Позначимо їх через x та y. Оскільки бісектриса прямого кута ділить гіпотенузу на дві рівні частини, то:

x = y

За теоремою Піфагора для прямокутного трикутника:

a^2 + b^2 = c^2,

де c - гіпотенуза. Підставляємо в цю формулу відповідне вирази для катетів та гіпотенузи:

a^2 + (4/3a)^2 = (5/3x)^2

Розв'язуючи це рівняння відносно х, маємо:

x = 3a

Тоді другий відрізок гіпотенузи:

y = 2x - 5 = 2(3a) - 5 = 6a - 5

Знайдемо тепер катети трикутника, використовуючи відношення:

a/b = 3/4

Отже, b = (4/3)a.

Тепер можемо знайти площу трикутника за формулою:

S = (1/2)ab

Підставляємо відповідні значення та скорочуємо спільний множник 1/2:

S = (1/2)ab = (1/2)a(4/3)a = (2/3)a^2

Залишилося знайти a, щоб отримати площу трикутника. Зробимо це, підставивши b = (4/3)a в теорему Піфагора:

a^2 + (4/3a)^2 = c^2

9a^2 + 16a^2/9 = c^2

Помножимо обидві частини рівності на 9, щоб позбутися знаменника:

81a^2 + 16a^2 = 9c^2

97a^2 = 9c^2

a^2 = (9/97)c^2

Тепер можна знайти площу трикутника:

S = (2/3)a^2 = (2/3)(9/97)c^2 = (6/97)c^2

Отже, площа прямокутного трикутника дорівнює