Verified answer

5. Не могу строго доказать. Получается из анализа коэффициентов - мнимый эллипс, хотя одно решение есть точно: х = -2, у = 2. Видимо эллипс вырождается в точку.

6. Итак x^2 + y^2 = 3n, где n - натуральный индекс.

Докажем "от противного". Пусть х и у - не делятся на 3.

Значит они делятся на 3 с остатком либо 1, либо 2.

а) Пусть х =3к+1, у = 3m+1  (оба делятся с остатком 1), k,m -натур. индекс.

Тогда: (3k+1)^2 + (3m+1)^2 = 9k^2+6k+1 +9m^2+6m+1 =

= 3(3k^2+2k+3m^2+2m)  + 2  - видим, что не равно 3n (есть остаток 2) - противоречит условию.

б) Пусть х=3k+2, y=3m+2 (оба делятся с остатком 2)

Тогда: (3k+2)^2 + (3m+2)^2 = (9k^2+12k +4) + (9m^2+12m+4) =

3(3k^2+4k+3m^2+4m+2)  + 2 - также появился остаток 2 - не равно 3n- противоречит условию.

в) Пусть х=3k+1, y = 3m+2 (одно делится с остатком 1, другое - с остатком 2 - причем не важно какое-задача абсолютно симметрична)

Тогда: (3k+1)^2 + (3m+2)^2 = (9k^2+6k+1) + (9m^2 + 12m +4) =

= 3(3k^2+2k+3m^2+4m+1)  + 2  - опять не делится на 3 - противоречит условию.

Мы разобрали все возможные случаи х и у, не делящихся на 3. Ни один из них не отвечает условию!

Значит от противного делаем вывод: х и у делятся на 3! Что и требовалось доказать.