5. В кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром , равным 1, проведено сечение MNK,
где точка М – середина ребра AD, точка N лежит на ребре АВ так,
что AN : NB = 1 : 3, точка К – на ребре АА1 такая, что АК : КА1= 1 : 4.
Найдите: а) угол между плоскостями MNK и А1В1С1;
б) расстояние и угол между прямыми MN и С1L, где L – середина ребра DC.
Answers & Comments
Verified answer
Ответ:
а) arctg(2√5/5) = arctg(0,894) ≈ 41,8°.
б) Расстояние между прямыми MN и С1L равно √6/4 ≈ 0,61
Угол (MN^C1L) = arccos(0,2) ≈ 78,5°.
Объяснение:
а). Цитата: "Угол между двумя пересекающимися плоскостями - это двугранный угол. Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру (то есть перпендикулярной к обеим плоскостям).
Величина угла между пересекающимися плоскостями принадлежит промежутку (0;90°)".
Проведем АН перпендикулярно ребру двугранного угла MN. По теореме о трех перпендикулярах КН также перпендикулярна MN. В нашем случае искомый угол - это угол АНК, так как плоскости А1В1С1 параллельна плоскости АВС.
В прямоугольном треугольнике АNM гипотенуза
MN = √((1/4)²+(1/2)²) = (√5)/4. Высота из прямого угла
АН = AN·AM/MN = (1/4)·(1/2)·4/√5 = √5/10.
Тогда в прямоугольном треугольнике АКН тангенс угла ∠Н равен
tgH = AK/AH = (1/5)/(√5/10) = 2√5/5.
Искомый угол равен arctg(2√5/5) =arctg(0,894) ≈ 41,8°.
Координатный метод:
Точки К(0;0;1.5), М(0;1/2;0), N(1/4;0;0).
Уравнение плоскости А1В1С1, параллельной плоскости x0y^ z = 1,
Уравнение в общем виде: 0·x +0·y +1·z -1 = 0, с коэффициентами А=0, В=0, С=1, D=-1.
Уравнение плоскости MNK получим через определитель:
| x-0 y-0 z-1 |
| 0 1/2 -1/5 | = 0. Или (-1/10)·x - (1/20)·y + (-1/8)·z +1/40 = 0.
| 1/4 0 -1/5 |
То есть коэффициенты А= -1/10, В = -1/20, С = -1/8б D = 1/40.
По формуле:
Cosa = |0+0-1/8|/((√(0+0+1)·√(1/100+1/400+1/64)) = 80·10/(8√180) или
Cosa = 10/√180 = 3√20/18 = √5/3 ≈ 0,745.
a = arccos(0,745) ≈ 41,8°
б). Прямые MN и LC1 - скрещивающиеся прямые. Углом между скрещивающимися прямыми является угол между пересекающимися прямыми, параллельными данным скрещивающимся. Проведем через точку L прямую LP, параллельно MN.
Она пересечет сторону ВС в точке В, так как:
∠СLP = ∠ANM как углы с параллельными соответственными сторонами. Отрезок CL = 1/2, отрезок NA = (1/4). CL/NA = 2. Тогда PL/MN = 2 и PL = 2·MN = (√5)/2. PC = 2·AM = 1. То есть точка Р совпадает с точкой В.
Проверка: точки М((1/2;0;0;) и N(0;1/4;0) => вектора MN и LB коллинеарны, так как отношения соответствующих координат равны: MN{-1/2;1/4;0} и LB{-1;1/2;0}.
Отношения для х: =1/2, для y: 1/2.
Тогда в треугольнике ВС1L стороны ВС1 = √2, LC1 = (√5)/2 (по Пифагору) и BL = (√5)/2. По теореме косинусов найдем Cos(BLC1).
Cos(BLC1)= (BL²+C1L² - BC1²)/(2·BL·C1L) = 1/5 = 0,2.
∠BLC1 = arccos(0,2) ≈ 78,5°.
Координатный метод:
Вектор MN={1/4;-1/2;0}. |MN| = √(1/16+1/4+0) = √5/4.
Вектор С1L={-1/2;0;-1}. |C1L| = √(1/4+0+4/4) = √5/2.
Cos(MN^C1L) = |(-1/8 +0+0)|/(√5/4)² = (1/8)·(8/5) = 1/5 = 0,2.
(MN^C1L) = arccos(0,2) ≈ 78,5°.
Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой. В нашем случае это плоскость BC1L , так как прямая BL, принадлежащая этой плоскости параллельна прямой MN (доказано выше).
В прямоугольном треугольнике ANM гипотенуза NM = √((1/4)²+(1/2)²) = √5/4.
AH = AN·AM/NM = (1/4)·(1/2)·4/√5 = √5/10 (высота из прямого угла).
Проведем прямую СS ⊥BL до пересечения с MN в точке S. пересечение этой прямой с прямой BL - точка Q. QS = НН1, так как AH1 перпендикулярна MN.
Продолжим C1Q и опустим на него перпендикуляр SR.
SR - искомое расстояние от прямой MN до плоскости ВС1L, так как С1Q ⊥ВL по теореме о трех перпендикулярах (CQ ⊥BL) и SQ ⊥BL по построению.
Продлим прямую BL до пересечения с прямой AD в точке D2. Треугольники ABD2 и DLD2 подобны (DL ||AB) c коэффициентом подобия k=AB/DL=2 => DL - средняя линия и BD2 = 2·BL = √5 (BL = √5/2 - найдено выше). AD2 = 2.
АН = √5/10 (найдено в первом пункте) .
Тогда высота из прямого угла треугольника ABD2 равна
АН1 = AB·AD2/BBD2 =2√5/5. =>
НН1 = АН1 - АН = 2√5/5 - √5/10 = 3√5/10.
SQ = HH1 = 3√5/10. (по построению).
СQ = BC·CL/BL = 1·(1/2)/(√5/2 ) = √5/5.
С1Q = √(СС1²+СQ²) = √(1+5/25) = √30/5.
Треугольники SQR и CQC1 подобны по острому углу с коэффициентом
k = SQ/C1Q = (3√5/10)/(√30/5) = √6/4.
SR = k·CC1 = k = √6/4 ≈ 0,61.
Расстояние между прямыми MN и С1L равно √6/4 ≈ 0,61.
Координатный метод:
Уравнение плоскости ВС1L:
Точки B(0;1;0), C1(1;1;1) и L(1;1/2;0)
|x-0 1 1 |
|y-1 0 -1/2 | = 0. => (1/2)·x - (y-1)·(-1) + (-1/2)·z = 0.
|z-0 1 0 |
Уравнение плоскости: (1/2)·x +y - (1/2)·z -1 = 0.
А = 1/2, В = 1, С = -1/2, D = -1.
По формуле расстояния от точки М(0;1.2;0) до плоскости:
d = |A·Mx + B·My + C·Mz + D|/√(A²+B²+C²). =>
d = |1/2·1/2 + 1·0 + (-1/2)·0 + (-1)|/√(1/4+1+1/4) = √6/4 ≈ 0,61.