Verified answer

Ответ:

Преобразуем выражение сначала .

[tex]y=(1+cos2x)^2+\dfrac{(sinx-cosx)(sinx+cosx)}{cos2x}+sin^22x\ \ ,\ \ ODZ:cos2x\ne 0\\\\\\y=1+2cos2x+cos^22x+\dfrac{sin^2x-cos^2x}{cos2x} +sin^2x\\\\y=1+2cos2x+(\underbrace{cos^22x+sin^22x}_{1})+\dfrac{-cos2x}{cos2x}\\\\y=1+2cos2x+1-1\\\\\boldsymbol{y=1+2cos2x}\ \ ,\ \ ODZ:cos2x\ne 0\ ,\ 2x\ne \dfrac{\pi}{2}+\pi n\ ,\ \boldsymbol{x\ne \dfrac{\pi }{4}+\dfrac{\pi n}{2}\ ,\ n\in Z}[/tex]  

Так как  [tex]-1\leq cos2x\leq 1[/tex]  , то  [tex]-2\leq 2cos2x\leq 2[/tex]  и  [tex]-1\leq 1+2cos2x\leq 3[/tex]

Область значений функции  [tex]\boldsymbol{E(y)=[-1\ ;\ 3\ ]}[/tex]  .

Целые значения из этого сегмента:  -1 , 0 , 1 , 2 , 3 .

Но значение функции  [tex]y(x)=1[/tex]  достигается при [tex]cos2x=0[/tex]  ,  то есть при  [tex]x=\dfrac{\pi }{4}+\dfrac{\pi n}{2}\ ,\ n\in Z[/tex] . А эти значения переменной  х  не входят в ОДЗ , поэтому  значение функции  у=1 надо исключить .

Значит количество целых значений функции равно 4 , это -1 , 0 , 2 , 3 .