[tex]\sqrt[3]{x^2+2x-3}+\sqrt[3]{2x^2+5x-3}=-\sqrt[3]{9-3x-2x^2}\\\sqrt[3]{(x+3)(x-1)}+\sqrt[3]{(x+3)(2x-1)}+\sqrt[3]{(x+3)(3-2x)}=0\\\sqrt[3]{x+3}\left ( \sqrt[3]{x-1}+\sqrt[3]{2x-1}+\sqrt[3]{3-2x} \right )=0[/tex]

С первым множителем понятно, будем разбираться со вторым

[tex]\begin{cases}\sqrt[3]{x-1}=a\\ \sqrt[3]{3-2x}=b\\ \sqrt[3]{2x-1}=c\\a+b+c=0\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}x-1=a^3\\ 3-2x=b^3\\ 2x-1=c^3\\a=-b-c\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}x-1=(-b-c)^3\\ 3-2\left ( (-b-c)^3+1 \right )=b^3\\ 2\left ( (-b-c)^3+1 \right )-1=c^3\\a=-b-c\end{cases}\Rightarrow[/tex][tex]\Rightarrow \begin{cases}x=-b^3-3b^2c-3bc^2-c^3+1\\2b^3+6b^2c+6bc^2+2c^3+1=b^3\\-2b^3-6b^2c-6bc^2-2c^3+1=c^3\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=-b^3-3b^2c-3bc^2-c^3+1\\b^3+6b^2c+6bc^2+2c^3+1=0\\3b^3+12b^2c+12bc^2+5c^3=0\end{cases}[/tex]

Идея была в том, что после тройной замены, как обычно подобные уравнения и решаются, мы получим красивое уравнение, но получается кубическое...

[tex]3b^3+12b^2c+12bc^2+5c^3\overset{c\neq 0}{\Rightarrow }3\left ( \frac{b}{c} \right )^3+12\left ( \frac{b}{c} \right )^2+12\cdot \frac{b}{c}+5=0\\\frac{b}{c}=t\Rightarrow 3t^3+12t^2+12t+5=0\Leftrightarrow t^{3}+4\,t^{2}+4\,t+\dfrac{5}{3}=0\\[/tex]

[tex]t=y-\frac{4}{3}\Rightarrow 4\,\left(y-\dfrac{4}{3}\right)+\left(y-\dfrac{4}{3}\right)^{3}+4\,\left(y-\dfrac{4}{3}\right)^{2}+\dfrac{5}{3}=0\Leftrightarrow \\\Leftrightarrow x^{3}-\dfrac{4\,x}{3}+\dfrac{29}{27}=0[/tex]

Так как [tex]\mathrm{Q}=\left(\dfrac{\mathrm{p}}{3}\right)^3+\left(\dfrac{\mathrm{q}}{2}\right)^2=\dfrac{65}{324} > 0[/tex], то уравнение имеет единственный действительный корень. Воспользуемся формулой Кардано

[tex]y=\alpha+\beta, \; \alpha=\sqrt[3]{-\dfrac{\mathrm{q}}{2}+\sqrt{\mathrm{Q}}}, \beta=\sqrt[3]{-\dfrac{\mathrm{q}}{2}-\sqrt{\mathrm{Q}}}\\\alpha=\sqrt[{3}]{\dfrac{\sqrt{65}}{18}-\dfrac{29}{54}},\beta=\sqrt[{3}]{-\dfrac{\sqrt{65}}{18}-\dfrac{29}{54}}\Rightarrow y=-\sqrt[{3}]{\dfrac{\sqrt{65}}{18}+\dfrac{29}{54}}-\sqrt[{3}]{\dfrac{29}{54}-\dfrac{\sqrt{65}}{18}}[/tex]

Делаем обратную замену и получаем

[tex]t=-\sqrt[{3}]{\dfrac{\sqrt{65}}{18}+\dfrac{29}{54}}-\sqrt[{3}]{\dfrac{29}{54}-\dfrac{\sqrt{65}}{18}}-\frac{4}{3}[/tex]

Скажем, что весь наш большой корень - это константа [tex]a[/tex], тогда

[tex]\dfrac{\sqrt[{3}]{3-2\,x}}{\sqrt[{3}]{2\,x-1}}=a\Leftrightarrow \sqrt[{3}]{3-2\,x}=a\,\sqrt[{3}]{2\,x-1}\Leftrightarrow 3-2\,x=2\,a^{3}\,x-a^{3}\\-2\,a^{3}\,x-2\,x=-a^{3}-3\Rightarrow x=\dfrac{a^{3}+3}{2\,a^{3}+2}[/tex]

Нам достаточно подставить вместо a наш тот корень и это будет второе решение нашего уравнения, то есть

[tex]x=\left \{ -3,\dfrac{a^{3}+3}{2\,a^{3}+2} \right \}, \; a=-\sqrt[{3}]{\dfrac{\sqrt{65}}{18}+\dfrac{29}{54}}-\sqrt[{3}]{\dfrac{29}{54}-\dfrac{\sqrt{65}}{18}}-\frac{4}{3}\\x_1+x_2=-3+\dfrac{a^{3}+3}{2\,a^{3}+2}[/tex]

Странно, но Maple и Wolfram говорят, что корень единственный, только -3, но это неправда! Прикрепляю ссылку на Desmos, где я уже всё вбил. Там мои корни совпадают с точками пересечения графика с осью Ox

https://www.desmos.com/calculator/lorvv0ofgv