Решение.

Пользуемся свойством степеней и формулами сокращённого умножения .

[tex]\bf 1)\ \ \ (1+a^{-3})(a+1)^{-2}=(1+\dfrac{1}{a^3})\cdot \dfrac{1}{(a+1)^2}=\dfrac{a^3+1}{a^3(a+1)^2}=\\\\\\=\dfrac{(a+1)(a^2-a+1)}{a^3(a+1)^2}=\dfrac{a^2-a+1}{a^3(a+1)}\\\\\\2)\ \ (x^{-2}-y^{-2}):(x^{-1}-y^{-1})=(\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{y^2}):(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y})=\dfrac{y^2-x^2}{x^2\, y^2}:\dfrac{y-x}{xy}=\\\\\\=\dfrac{(y-x)(y+x)}{x^2\, y^2}\cdot \dfrac{xy}{y-x}=\dfrac{x+y}{x\, y}[/tex]

[tex]\displaystyle \bf 3)\ \ \Big(\frac{a}{c}\Big)^{-1}+\Big(\frac{a}{c}\Big)^{-3}=\frac{c}{a}+\frac{c^3}{a^3}=\frac{c\, a^2+c^3}{a^3}=\frac{c\, (a^2+c^2)}{a^3}\\\\\\4)\ \ \Big(\frac{1}{b^{-3}}+\frac{1}{c^{-3}}\Big)(b+c)^{-1}=(b^3+c^3)\cdot \frac{1}{b+c}=\\\\\\=\frac{(b+c)(b^2-bc+c^2)}{b+c}=b^2-bc+c^2[/tex]