При розв'язуванні цієї задачі ми можемо скористатися відомим фактом, що площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку його катетів:

S = (a * b) / 2

де S - площа трикутника, а і b - його катети.

Ми також знаємо, що сума катетів прямокутного трикутника обмежена довжиною гіпотенузи за нерівністю:

a + b > c

де c - довжина гіпотенузи.

Отже, ми можемо використати ці дві формули для того, щоб знайти катети, які дають найменшу суму.

Для початку, ми можемо виразити один з катетів через інший з формули для площі:

b = (2 * S) / a

Підставивши цей вираз у нерівність для суми катетів, ми отримуємо:

a + (2 * S) / a > c

За тим самим принципом, ми можемо виразити довжину гіпотенузи через катети:

c = sqrt(a^2 + b^2)

Підставивши вираз для b, ми отримуємо:

c = sqrt(a^2 + (2*S)^2 / a^2)

Тепер ми можемо підставити цей вираз для довжини гіпотенузи у нерівність для суми катетів і отримати функцію, яку ми можемо оптимізувати за значенням a:

a + (2 * S) / a > sqrt(a^2 + (2*S)^2 / a^2)

(Зауважте, що ми можемо безпечно брати корінь з обох боків нерівності, оскільки всі числа в ній додатні.)

Для того, щоб знайти мінімальне значення цієї функції, ми можемо взяти похідну і прирівняти до нуля:

1 - (2 * S) / a^2 = 0

Отже,

a = sqrt(2 * S)

Підставивши це значення a у вирази для b і c, ми можемо знайти довжини катетів і гіпотенузи, які дають найменшу суму:

a = sqrt(2 * 50) ≈ 10

b = (2 * 50) / 10 = 10

c = sqrt(10^2 + 10^2) = sqrt(200) ≈ 14.14

Отже, катети довжиною 10 см дають найменшу суму, яка дорівнює 20 см.