Ответ:Для решения этой задачи мы можем использовать принцип максимума и минимума, который гласит, что функция достигает экстремума в точке, где её производная равна нулю.

Обозначим радиус цилиндра через r, а высоту цилиндра через h. Также обозначим угол между образующей конуса и плоскостью основания через α.

Объем цилиндра можно выразить через r и h:

V = πr^2h

Для нахождения максимального объёма цилиндра, мы можем воспользоваться методом Лагранжа. Для этого нужно составить функцию Лагранжа, которая будет иметь вид:

L = πr^2h + λ(2πrh + L^2cotα)

где λ - множитель Лагранжа, а последнее слагаемое - это выражение для высоты конуса, которое получается из теоремы Пифагора.

Чтобы найти максимум этой функции, необходимо найти значения r, h и λ, при которых производные функции L по r, h и λ равны нулю. Таким образом, мы получим систему уравнений:

∂L/∂r = 2πrh + 2πλr = 0

∂L/∂h = πr^2 + 2πλLcotα = 0

∂L/∂λ = 2πrh + L^2cotα = 0

Решив эту систему уравнений относительно r и h, мы найдём:

r = L/(2cotα + 4λ)

h = L^2cotα/(8πλ)

Подставив эти значения в уравнение для объёма цилиндра, получим:

V = πr^2h = πL^3cotα/(8(1 + 2cotαλ)^2)

Найдём значение λ, при котором V достигает максимального значения. Для этого найдём производную V по λ и приравняем её к нулю:

dV/dλ = -3πL^3cotα(2cotαλ - 1)/(8(2cotαλ + 1)^3) = 0

2cotαλ = 1

λ = 1/(2cotα)

Подставим значение λ в выражения для r и h:

r = L/(2cotα + 4/2cotα) = L/(6cotα)

h = L^2cotα/(8π/2cotα) = L^2cot^2α/(4π)

Таким образом, радиус цилиндра должен быть равен L/(6cotα), чтобы объём цилиндра был максимальным из возможных.