Найдите корни уравнения sin2x+2sinx=√3+√3 cosx принадлежащие полуинтервалу (0;3пи] -------- sin2x +2sinx =√3+√3cosx ; x ∈ (0 ;3π] 2sinxcosx+2sinx =√3+√3cosx; 2sinx(cosx+1) - √3(cosx+1) =0 ; 2(cosx+1)(sinx -√3 /2) =0 ⇔совокупности двух простых уравнений : [ cosx = -1 ; sinx =√3 /2 .⇔ [ x =π+2πk ; x = π/3 +2πk , x =π -π/3 +2πk ,k ∈Z. a) x =π+2πk , k∈Z и x ∈ (0 ;3π] ⇒ x =π ; x =3π (при k =0 , k =1). ---------------- b) x = π/3 +2πk , n∈Z и x ∈ (0 ;3π] ⇒ x =π/3 , x =π/3+2π =7π/3 (при k =0 , k =1). ------ c) x =2π/3 +2πk , k∈Z и x ∈ (0 ;3π] ⇒ x =2π/3 (при k =0 )
ответ : { π/3 ; 2π/3 ; π ; 7π/3 ; 3π } .
* * * * * * * P.S Например : из b) x = π/3 +2πk , k∈Z. 0 < π/3 +2πk ≤ 3π ⇔ -π/3 < 2πk ≤ 3π -π/3 ⇔ -1/6 < k ≤ 4/3 т.е. k =0, k =1 т.к. k _ целое число
Answers & Comments
Verified answer
Найдите корни уравнения sin2x+2sinx=√3+√3 cosx принадлежащие полуинтервалу (0;3пи]--------
sin2x +2sinx =√3+√3cosx ; x ∈ (0 ;3π]
2sinxcosx+2sinx =√3+√3cosx;
2sinx(cosx+1) - √3(cosx+1) =0 ;
2(cosx+1)(sinx -√3 /2) =0 ⇔совокупности двух простых уравнений :
[ cosx = -1 ; sinx =√3 /2 .⇔ [ x =π+2πk ; x = π/3 +2πk , x =π -π/3 +2πk ,k ∈Z.
a) x =π+2πk , k∈Z и x ∈ (0 ;3π] ⇒
x =π ; x =3π (при k =0 , k =1) .
----------------
b) x = π/3 +2πk , n∈Z и x ∈ (0 ;3π] ⇒
x =π/3 , x =π/3+2π =7π/3 (при k =0 , k =1).
------
c) x =2π/3 +2πk , k∈Z и x ∈ (0 ;3π] ⇒
x =2π/3 (при k =0 )
ответ : { π/3 ; 2π/3 ; π ; 7π/3 ; 3π } .
* * * * * * * P.S Например : из b) x = π/3 +2πk , k∈Z.
0 < π/3 +2πk ≤ 3π ⇔ -π/3 < 2πk ≤ 3π -π/3 ⇔ -1/6 < k ≤ 4/3 т.е. k =0, k =1 т.к. k _ целое число