Ответ:

[tex]\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{5} =1[/tex] - уравнение эллипса;

Полуоси a = 2, b = √5;

Координаты фокусов F₁(0; 1); F₂(0; -1);

Уравнения директрис:

[tex]\displaystyle d_1:\;\;\;x= 5;\;\;\;\;\;d_2:\;\;\;x= - 5[/tex]

Объяснение:

Задано уравнение кривой второго порядка.

5х²+4у²-20=0

Выполните следующие действия:

а) определите по уравнению вид кривой

б) в случае эллипса, найдите его полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет, составьте уравнение директрис

д) выполните чертеж кривой с представлением фокусов, директрис.

Дано уравнение кривой второго порядка:

5х²+4у²-20=0

Перенесем (-20) в правую часть и разделим обе части уравнения на 20:

[tex]\displaystyle \frac{5x^2}{20}+\frac{4y^2}{20} = \frac{20}{20}[/tex]

Каноническое уравнение эллипса:

[tex]\displaystyle \frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2}=1[/tex]

⇒ Получили уравнение эллипса:

[tex]\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{5} =1[/tex]

• Эллипсом называется множество точек плоскости для которых сумма расстояний от двух данных точек плоскости F1 и F2, называемых фокусами, есть положительная постоянная величина, равная большой оси.

1. Полуоси.

В данном каноническом уравнении эллипса

а² < b²

⇒ малая полуось - а; большая полуось - b.

a = 2, b = √5

⇒ Фокусы данного эллипса лежат на оси Оу.

2. Фокусное расстояние F₁F₂ = 2c, где

[tex]c=\sqrt{b^2-a^2} =\sqrt{5-4}=1[/tex]

⇒ координаты фокусов F₁(0; 1); F₂(0; -1)

3. Эксцентриситет

• Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к большой полуоси эллипса.

[tex]\displaystyle e=\frac{F_1F2}{B_1B_2}=\frac{2c}{2b}=\frac{c}{b }\\ \\ e=\frac{1}{\sqrt{5} } =0,45[/tex]

4.Уравнения директрис.

• Директрисы эллипса - прямые d₁ и d₂ перпендикулярные к большой оси - эллипса.

• Отношение расстояний от любой точки эллипса до фокуса и до соответствующей директрисы постоянно и равно є.

⇒ уравнения директрис:

[tex]\displaystyle x=\pm\frac{b}{e} \\\\d_1:\;\;\;x=\frac{\sqrt{5} }{0,45}\approx 5\\ \\d_2:\;\;\;x=-\frac{\sqrt{5} }{0,45}\approx - 5[/tex]

#SPJ1