Найти:а) точку пересечения прямой и площины.

Уравнение прямой преобразуем в параметрическое.

x = 2t + 2,

y = -t + 2,

z = 3t + 4.

Подставим в уравнение плоскости.

2t + 2 + 3(-t + 2) + 5(3t + 4) – 42 = 0.

14t = 14,

t = 14/14 = 1.

Отсюда получаем точку пересечения:

x = 2*1 + 2 = 4,

y = -1 + 2 = 1,

z = 3*1 + 4 = 7.

Точка (4; 1; 7).

б) угол между прямой и площиной.

Угол между прямой (x – 2)/2 = (y – 2)/(-1) = (z – 4)/3 и плоскостью x + 3y+ 5z – 42 = 0.

Направляющий вектор прямой имеет вид:

s      

=  { 2 ;  -1 ;  3 }

Вектор нормали плоскости имеет вид:

q

=  { 1 ;  3 ;  5 }

sin φ=              

            | A · l + B · m + C ·n |            =

√(A² + B² + C²) ·√(l² +m² + n²)

=               | 1 · 2 + 3 · (-1) + 5 · 3 |

√(1² + 3² + 5²) · √(2² + (-1)² + 3²) =

=          | 2 - 3 + 15 |            

√(1 + 9 + 25) · √(4 + 1 +9)

= 14/(√35*√14) = 14/(√5*7)*√(2/7) = 2/√10 = √10/5.  

Отсюда угол равен arcsin(√10/5) = 39,2315 градуса.

в) точку, симетричную точке P(-2; -4; -6) относительно заданой площины.

Так как вектор нормали плоскости имеет вид: (1; 3; 5), то составляем уравнение этой нормали, проходящей через точку Р:

(x + 2)/1 = (y + 4)/3 = (z + 6)/5.

Находим точку пересечения этой прямой и заданной плоскости.

Уравнение прямой преобразуем в параметрическое.

x = t - 2,

y = 3t - 4,

z = 5t - 6.

Подставим в уравнение плоскости x + 3y+ 5z – 42 = 0.

t - 2 + 3(3t - 4) + 5(5t - 6) – 42 = 0.

35t = 86,

t = 86/35.

Отсюда получаем точку K пересечения:

x = (86/35) - 2 = 16/35,

y = 3*(86/35) - 4 = 118/35,

z = 5*(86/35) - 6 = 220/35.

Точка K((16/35); (118/35); (220/35)).

Теперь найдём точку Р1, симметричную точке Р относительно точки К.

x(P1) = 2*(16/35) – (-2) = (32 + 70)/35 = 102/35.

y(P1) = 2*(118/35) – (-4) = (236 + 140)/35 = 376/35.

z(P1) = 2*(220/35) – (-6) = (440 + 210)/35 = 650/35 = 130/7.