Ответ:

Периметр квадрата, вписанного в эту окружность, равен 24 см.

Объяснение:

Площадь правильного треугольника, описанного около окружности , равна 54 √3 см². Найти периметр квадрата вписанного в данную окружность.

Пусть дан ΔАВС -правильный . Площадь правильного треугольника определяется по формуле

[tex]S= \dfrac{a^{2}\sqrt{3} }{4} ,[/tex]    a- сторона треугольника.

Найдем сторону правильного треугольника

[tex]\dfrac{a^{2}\sqrt{3} }{4} =54\sqrt{3} |:\sqrt{3} ;\\\\ \dfrac{a^{2} }{4} =54|\cdot4 ;\\\\a^{2} =216;\\\\a=\sqrt{216} ;\\\\a=\sqrt{36\cdot6 } ;\\\\a=6\sqrt{6}[/tex]

Значит, сторона треугольника равна 6√6 см.

Радиус окружности , вписанной в правильный треугольник определяется по формуле

[tex]r=\dfrac{a}{2\sqrt{3} } ;\\\\r=\dfrac{6\sqrt{6} }{2\sqrt{3} } =3\sqrt{2}[/tex]

Радиус окружности , вписанной в треугольник, равен 3√2 см.

Для квадрата эта окружность является описанной и тогда радиус описанной около квадрата окружности определяется по формуле

[tex]R= \dfrac{a}{\sqrt{2} } ,[/tex]     a- сторона квадрата

Тогда сторона квадрата определяется

[tex]a= R\sqrt{2}[/tex]

Тогда сторона квадрата будет

[tex]a= 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} =3\cdot2 =6[/tex]  см.

Найдем периметр квадрата по формуле

[tex]P =4a[/tex]

[tex]P= 4\cdot 6 =24[/tex] см.

Значит, периметр квадрата, вписанного в эту окружность, равен 24 см.

#SPJ1