Сначала делаем замену [tex]\mathrm{tg}(x)=u\Rightarrow du=\frac{1}{\cos^2x}dx[/tex], после получаем, что

[tex]\int{\dfrac{1}{3\,\cos^{2}\left(x\right)+2}}{\;\mathrm{d}x}=\int{\dfrac{1}{2\,{u}^{2}+5}}{\;\mathrm{d}u}[/tex]

Снова делаем замену [tex]v=\frac{\sqrt{2}u}{\sqrt{5}}\Rightarrow \mathrm{d}u=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\mathrm{d}v[/tex], после получаем, что

[tex]\int{\dfrac{1}{2\,{u}^{2}+5}}{\;\mathrm{d}u}=\int{\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}\,\left(5\,{v}^{2}+5\right)}}{\;\mathrm{d}v}[/tex]

Вынесем пять из знаменателя и получи табличный интеграл

[tex]\int{\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}\,\left(5\,{v}^{2}+5\right)}}{\;\mathrm{d}v}=\int{\dfrac{1}{\sqrt{10}\,\left({v}^{2}+1\right)}}{\;\mathrm{d}v}[/tex]

Тогда наш интеграл равен

[tex]\dfrac{1}{\sqrt{10}}\cdot\mathrm{arctg} \; v+C[/tex]

Делаем обратную замену

[tex]\dfrac{1}{\sqrt{10}}\mathrm{arctg}\left(\frac{\sqrt{2}\,u}{\sqrt{5}}\right)+C=\dfrac{1}{\sqrt{10}}\mathrm{arctg}\left(\frac{\sqrt{2}\,\mathrm{tg}\left(x\right)}{\sqrt{5}}\right)[/tex]