[tex]\int{\cos^{4}\left(3\,x\right)}{\;\mathrm{d}x}\overset{3x=u}{=}\int{\dfrac{\cos^{4}\left(u\right)}{3}}{\;\mathrm{d}u}=\dfrac{1}{3}\int{\dfrac{\left({\cos\left(2\,u\right)+1}\right)^{2}}{4}}{\;\mathrm{d}u}\overset{2u=v}{=}\dfrac{1}{12}\int{\dfrac{\left({\cos\left(v\right)+1}\right)^{2}}{2}}{\;\mathrm{d}v}=[/tex][tex]\\=\dfrac{1}{24}\int{\left (\cos^{2}\left(v\right)+2\,\cos\left(v\right)+1 \right )}{\;\mathrm{d}v}=\dfrac{1}{24}\left(\int{\cos^{2}\left(v\right)}{\;\mathrm{d}v}+2\int{\cos\left(v\right)}{\;\mathrm{d}v}+\int{1}{\;\mathrm{d}v}\right)=\\=\dfrac{\sin\left(2\,v\right)}{96}+\dfrac{\sin\left(v\right)}{12}+\dfrac{v}{16}+C=\dfrac{\sin\left(4\,u\right)}{96}+\dfrac{\sin\left(2\,u\right)}{12}+\dfrac{u}{8}+C=\\=\dfrac{\sin\left(12\,x\right)}{96}+\dfrac{\sin\left(6\,x\right)}{12}+\dfrac{3\,x}{8}+C[/tex]

Verified answer

Ответ:

Отже, правильний відповідь є:

(3/8)x + (1/12) * 6 * sin(x) + (1/96) * 12 * sin(x) + C, де C - довільна константа.

Пошаговое объяснение:

Даний інтеграл: ∫cos^4(3x) dx

Застосуємо формулу зведення до лінійного для степеневих функцій:

∫cos^4(3x) dx = ∫(cos^2(3x))^2 dx

Застосуємо формулу зведення до лінійного знову:

∫(cos^2(3x))^2 dx = ∫(1/2 + 1/2 * cos(6x))^2 dx

Розкриємо квадрат:

∫(1/2 + 1/2 * cos(6x))^2 dx = ∫(1/4 + 1/2 * cos(6x) + 1/4 * cos^2(6x)) dx

Розкриємо останній доданок:

∫(1/4 + 1/2 * cos(6x) + 1/4 * cos^2(6x)) dx = ∫(1/4 + 1/2 * cos(6x) + 1/4 * (1 + cos(12x))/2) dx

Спростимо вираз:

∫(1/4 + 1/2 * cos(6x) + 1/4 * (1 + cos(12x))/2) dx = 1/4 ∫dx + 1/2 ∫cos(6x) dx + 1/8 ∫(1 + cos(12x)) dx

Обчислимо окремі інтеграли:

∫dx = x + C₁

∫cos(6x) dx = (1/6) * sin(6x) + C₂

∫(1 + cos(12x)) dx = x + (1/12) * sin(12x) + C₃

Підставимо ці значення назад у вихідний вираз:

1/4 ∫dx + 1/2 ∫cos(6x) dx + 1/8 ∫(1 + cos(12x)) dx = 1/4 (x + C₁) + 1/2 ((1/6) * sin(6x) + C₂) + 1/8 (x + (1/12) * sin(12x) + C₃)

Спрощуємо:

1/4 (x + C₁) + 1/2 ((1/6) * sin(6x) + C₂) + 1/8 (x + (1/12) * sin(12x) + C₃) = (3/8)x + (1/12) * 6 * sin(x) + (1/96) * 12 * sin(x) + C

Отже, правильний відповідь є:

(3/8)x + (1/12) * 6 * sin(x) + (1/96) * 12 * sin(x) + C, де C - довільна константа.