Для вычисления длины дуги на данном интервале мы можем использовать формулу:

L = интеграл от a до b [sqrt(1 + (dy/dx)^2) dx]

Для этой кривой, dy/dx = -tan(x) * sin(x) / (cos(x))^2, поэтому:

L = интеграл от 0 до pi/6 [sqrt(1 + (dy/dx)^2) dx]

= интеграл от 0 до pi/6 [sqrt(1 + (tan(x) * sin(x) / (cos(x))^2)^2) dx]

= интеграл от 0 до pi/6 [sqrt(1 + (sin^2(x) / cos^2(x))) dx]

= интеграл от 0 до pi/6 [sqrt((cos^2(x) + sin^2(x)) / cos^2(x)) dx]

= интеграл от 0 до pi/6 [sqrt(1 / cos^2(x)) dx]

= интеграл от 0 до pi/6 [1 / cos(x) dx]

Для вычисления этого интеграла мы можем воспользоваться заменой переменных u = tan(x), поэтому:

du/dx = sec^2(x)

dx = du / sec^2(x)

cos(x) = 1 / sqrt(u^2 + 1)

Тогда интеграл примет вид:

L = интеграл от 0 до sqrt(3)/3 [1 / cos(x) dx]

= интеграл от 0 до sqrt(3)/3 [sqrt(u^2 + 1) du]

= [1/2 (u * sqrt(u^2 + 1) + ln(u + sqrt(u^2 + 1)))] от 0 до sqrt(3)/3

= 1/2 (sqrt(3)/3 * sqrt(4/3) + ln((sqrt(3)/3) + sqrt(4/3)))

≈ 0.5098

Результат вычислений показывает, что длина дуги кривой y=ln(cosx)+2 при 0<=x<=pi/6 составляет примерно 0.5098.