ЕГЭ, 100 баллов. Хорда АВ стягивает дугу окружности , равную 120 градусов. Точка С лежит на этой дуге, а точка D лежит на хорде АВ. При этом AD = 2, BD = 1, DC =[tex]\sqrt{2}[/tex].
а) докажите, что угол ADC равен π/6; б) Найдите площадь треугольника АВС.
а) докажите, что угол ADC равен π/6; б) Найдите площадь треугольника АВС.
Answers & Comments
Вписанный угол ACB опирается на дугу 360-120=240 и равен 120.
Радиус окружности по теореме синусов
AB/sin120 =2R => R=V3
O - центр окружности.
AOB=120, AOB - равнобедренный => OAB=30
Решаем треугольник ADO, по теореме косинусов OD=1, по теореме синусов AOD=90.
AB, CE - пересекающиеся хорды.
AD*BD=CD*DE => DE=V2
CD=DE, радиус проходит через середину хорды => ODC=90
AO||CE => ADC=OAD=30 (накрест лежащие)
Высота из С - катет против угла 30 => CH=V2/2
S(ACB)= AB*CH/2 =3V2/4