Verified answer

Ответ:

x∈(π/6+2πn ; π/2+2πn)U(π/2+2πn ; 5π+2πn) , где n - целое число

Объяснение:

2.Решите квадратное тригонометрическое неравенство: 2sin²x - 3sinx + 1 < 0

[tex] \displaystyle 2 \sin {}^{2} x - 3 \sin x + 1 < 0[/tex]

Заменим  sinx = t , где t∈[-1;1] , тогда :

[tex]2t {}^{2} - 3t + 1 < 0[/tex]

Найдём нули:

[tex]\displaystyle 2t^2-3t+1=0\\D=(-3)^2-4\cdot2\cdot1=1\\t_{1,2}=\frac{3\pm1}{4} \\\Rightarrow t_1=1~~~~~t_2=\frac{1}{2}[/tex]

Следовательно , 1/2 < t < 1 , вернемся к старой замене :

[tex]\displaystyle \frac{1}{2} < \sin x < 1[/tex]

Тогда, получим совокупность неравенств:

[tex]\left[ \begin{gathered} \sin x > \frac{1}{2} \\ \sin x < 1\\ \end{gathered} \right. \left[ \begin{gathered}\arcsin\frac{1}{2}+ 2 \pi n < x < \pi - \arcsin\frac{1}{2} + 2 \pi n\\ x \neq \frac{ \pi}{2} + 2 \pi n \\ \end{gathered} \right. \\ \left[ \begin{gathered} \frac{\pi }{6}+ 2 \pi n < x < \frac{5 \pi}{6} + 2 \pi n\\x \neq \frac{ \pi}{2} + 2 \pi n\\ \end{gathered} \right.[/tex]

Объеденив всё это, придём к тому , что:

x∈(π/6+2πn ; π/2+2πn)U(π/2+2πn ; 5π/6+2πn) , где n - целое число