Verified answer

Ответ:

x∈(arccos 2/3 + 2πn ; 2π-arccos 2/3 + 2πn),n∈Z

Объяснение:

2.Решить квадратное тригонометрическое неравенство: 3cos²x - 8cosx + 4 > 0

[tex]3 \cos {}^{2} x - 8 \cos x + 4 > 0[/tex]

Пусть cosx = t , где t∈[-1;1] , т.е:

[tex]3t {}^{2} - 8t + 4 > 0[/tex]

Найдём нули через дискриминант:

[tex]3t {}^{2} - 8t + 4 = 0 \\ D = ( - 8) {}^{2} - 4 \cdot3 \cdot4 = 64 - 48 = 16 \\ t_{1,2} = \frac{ - ( - 8) \pm \sqrt{16} }{2 \cdot3} = \frac{8 \pm4}{6} \\ \Rightarrow t_1 = \frac{2}{3} \: \: \: \: \: \: t_2 = 2[/tex]

Следовательно , t∈(-∞;2/3)U(2;+∞) , это можно включить в совокупность неравенств уже с обратной заменой:

[tex]\left[ \begin{gathered} \cos x < \frac{2}{3} \\ \cos x > 2\\ \end{gathered} \right.[/tex]

Очевидно , что второе неравенство не имеет решений , тогда решим первое:

[tex] \displaystyle \cos x < \frac{2}{3} \\ \arccos \frac{2}{3} + 2 \pi n < x < 2 \pi - \arccos \frac{2}{3} + 2 \pi n,n\in Z[/tex]

Ответ: x∈(arccos 2/3 + 2πn ; 2π-arccos 2/3 + 2πn),n∈Z