Verified answer

Ответ:

1. D(y) = (-∞; 0) ∪ (0; +∞)

2. функция не является четной или нечетной

3. ось Оу не пересекает

ось Ох пересекает в точке (-0,6; 0)

y > 0 при х ∈ (-∞; -0,6) ∪ (0; +∞)

y < 0 при х ∈ (-0,6; 0)

4. x = 0 - вертикальная асимптота.

наклонных асимптот нет.

5. Функция возрастает на промежутке х ∈ [1/2; +∞)

Функция убывает на промежутках х ∈ (-∞; 0) ∪ (0; 1/2]

х min = 1/2

6. Функция вогнута на промежутках х ∈ (-∞; -0,6] и (0; +∞)

Функция выпукла на промежутке х ∈ [-0,6; 0)

х перегиба = -0,6

Пошаговое объяснение:

Исследовать функцию и построить график:

[tex]\displaystyle f(x)=\frac{1+4x^3}{x}[/tex]

1. Область определения функции.

x ≠ 0

D(y) = (-∞; 0) ∪ (0; +∞)

2. Четность, нечетность.

• Если f(-x) = f(x), то функция четная, если f(-x) = -f(x) - нечетная.

[tex]\displaystyle f(-x)=\frac{1+4\cdot (-x)^3}{-x}= -\frac{1-4x^3}{x} \\[/tex]

⇒ f(-x) ≠ f(x) ≠ -f(x) ⇒ функция не является четной или нечетной, то есть общего вида.

3. Точки пересечения с осями координат.

1) пересечение с осью Оу ⇒ х = 0

Так как у нас х ≠ 0, то график ось Оу не пересекает.

2) пересечение с осью Ох ⇒ у = 0

[tex]\displaystyle 0=\frac{1+4x^3}{x} \;\;\;\\\\1+4x^3=0\\\\x^3=-\frac{1}{4} \\\\\displaystyle\bf x\approx -0,6[/tex]

Промежутки знакопостоянства.

Решим уравнение:

График пересекает ось Ох в точке х = -0,6, в точке х = 0 функция не существует.

Определим знак функции на промежутках:

[tex]+++[-0,6]---(0)+++[/tex]

y > 0 при х ∈ (-∞; -0,6) ∪ (0; +∞)

y < 0 при х ∈ (-0,6; 0)

4. Асимптоты.

Вертикальная асимптота:

[tex]\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1+4x^3}{x} =\infty[/tex]

⇒ x = 0 - вертикальная асимптота.

Наклонные асимптоты: y = kx + b

[tex]\displaystyle k= \lim_{x \to \infty} \frac{1+4x^3}{x\cdot x} = \lim_{x \to \infty}\left (\frac{1}{x^2} +4x\right)=\infty[/tex]

⇒ наклонных асимптот нет.

5. Возрастание, убывание. Экстремумы.

Найдем производную, приравняем к нулю и найдем корни. Отметим их на числовой оси и определим знаки производной на промежутках.

• Если "+" - функция возрастает, если "-" - функция убывает.

[tex]\displaystyle f'(x)=\frac{12x^2\cdot x-(1+4x^3)\cdot 1}{x^2} =\frac{8x^3-1}{x^2}\\ \\\frac{8x^3-1}{x^2}=0 \;\;\;\Rightarrow \;\;\;x^3=\frac{1}{8} ;\;\\\\x=\frac{1}{2} ;\;\;x\neq 0[/tex]

[tex]---(0)---[\frac{1}{2} ]+++[/tex]

Функция возрастает на промежутке х ∈ [1/2; +∞)

Функция убывает на промежутках х ∈ (-∞; 0) ∪ (0; 1/2]

• Если производная меняет знак с плюса на минус, то в данной точке наблюдается максимум, если с минуса на плюс, то в данной точке  - минимум.

х min = 1/2

[tex]\displaystyle f(\frac{1}{2})=\frac{1+4\cdot \frac{1}{8} }{\frac{1}{2} }=3[/tex]

6. Выпуклость вогнутость.

Найдем производную второго порядка, приравняем к нулю и найдем корни. Отметим их на числовой оси и определим знаки второй производной на промежутках.

• Если производная второго порядка положительна, функция вогнута, если отрицательна - выпукла.

[tex]\displaystyle f''(x)=\frac{24x^2\cdot x ^2-(8x^3-1)\cdot 2x}{x^4} =\frac{x(8x^3+2)}{x^4} =\\\\=\frac{8x^3+2}{x^3}[/tex]

[tex]\displaystyle \frac{8x^3+2}{x^3}=0;\;\;\;x^3=-\frac{1}{4} ;\\ \\x\approx -0,6;\;\;\;x\neq 0[/tex]

Определим знаки f''(x) на промежутках:

[tex]+++[-0,6]---(0)+++[/tex]

Функция вогнута на промежутках х ∈ (-∞; -0,6] и (0; +∞)

Функция выпукла на промежутке х ∈ [-0,6; 0)

• В точке, где вторая производная меняет знак, будет точка перегиба.

х перегиба = -0,6

[tex]\displaystyle f(-0,6)=\frac{1+4\cdot (-0,6)^3}{-0,6}=-0,2[/tex]

Строим график.