Ответ:

р = -4

координаты точки (-2; 0)

Объяснение:

Чтобы прямая имела с параболой ровно одну общую точку, эта прямая должна быть касательной к параболе.

Уравнение касательной в точке х₀.

Yк = y(x₀) + y'(x₀)(x - x₀)

или

Yк =y'(x₀)*x -  y'(x₀)*x₀ +  y(x₀)

и наше уравнение

у = -2х + р

и они должны совпадать.

Значит,    приравняем коэффициент при х и свободный член двух уравнений

-2 = y'(x₀)                           формула  (1)

р = - y'(x₀)*x₀ +  y(x₀)           формула (2)

Из формулы (1) мы можем найти х₀.

у'(x) = (x² + 2x)' = 2x + 2

y'(x₀) = 2x₀ + 2

2x₀ + 2 = -2  

x₀ = -2  - это точка касания, в которой прямая  y = -2x +p будет являться касательной к параболе  y = x² + 2x

Осталось только найти р.

Подставим x₀ = (-2) в  формулу (2) и найдем р

  р = - y'(x₀)*x₀ +  y(x₀)

y'(x₀) = y'(-2) = 2*(-2) + 2  = -2

y(x₀) = y(-2) = (-2)² + 2*(-2) = 4 - 4 = 0

 р = - (-2*(-2))  + 0 = -4

Таким образом, прямая

y = -2x - 4

является касательной к параболе y = x² + 2x  в точке х=(-2) и, следовательно, имеет с параболой ровно одну общую точку.

Поскольку ранее мы вычислили

y(-2) =  0,

то координаты точки касания (или ровно одной общей точки)

(-2; 0)