Ответ:

[tex] \small y_{kac}=6x - 2 \large\tfrac{2}{3}[/tex]

Объяснение:

[tex]y = \frac{1}{6} x^{3} + 4x ;\: \: x_0=-2\\ [/tex]

Уравнение касательной общего вида имеет вид

[tex]y_{kac}=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)[/tex]

1. Найдем значение функции в точке касания

[tex]y(x_0) = f(x_0) = f( - 2) = \\ = \frac{1}{6} \cdot ( - 2)^{3} + 4 \cdot ( - 2) = - \frac{8}{6} - 8 = \\ = - \frac{4}{3} - \frac{24}{3} = - \frac{28}{3} = - 9 \large \tfrac{1}{3} \\ f (- 2) = - 9 \large\tfrac{1}{3} \: \: [/tex]

2. Найдем значение производной функции в точке х0

a)

[tex] \small \: f'(x) = \big( \large\tfrac{1}{6} \small x^{3} + 4x \big)' = \big( \large\tfrac{1}{6} \small x^{3} \big)' +\big( 4x \big)' = \\ = \large\tfrac{1}{6} \small \cdot 3x^{2} + 4 \cdot1x^{0} = \large \tfrac{1}{2} \small{x}^{2} + 4 \\ [/tex]

b)

[tex]f'(x_0)=f'( - 2)= \large \tfrac{1}{2} \small \cdot( - 2)^{2} + 4 = \\ = \large \tfrac{1}{2} \small \cdot4 + 4 =2 + 4 = 6\\ [/tex]

3. Найдем уравнение касательной в точке:

[tex]y_{kac}=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0) \\ f(x_0) = - 9 \tfrac{1}{3}; \: f'(x_0)=6;\: x_0=-2 \\ \\ \small y_{kac}= - 9 \large\tfrac{1}{3} \small +6(x-( - 2))\\ \small y_{kac}= - 9 \large\tfrac{1}{3} \small +6x + 12\\ \small y_{kac}=6x - 2 \large\tfrac{2}{3}[/tex]

Это и есть ответ