Ответ:

Решение логарифмического уравнения: -3; 3.

Объяснение:

Требуется решить логарифмическое уравнение.

[tex]lg(x^2+1)=2\;lg^{-1}(x^2+1)-1[/tex]

[tex]\displaystyle lg(x^2+1)=\frac{2}{lg(x^2+1)} -1[/tex]

ОДЗ: lg(x²+1) ≠ 0 или х ≠ 0

[tex]\displaystyle lg(x^2+1)=\frac{2}{lg(x^2+1)} -1\;\;\;\;\;|\cdot{lg(x^2+1)}\\\\lg^2(x^2+1)=2-lg(x^2+1)\\\\lg^2(x^2+1)-2+lg(x^2+1)=0[/tex]

Выполним замену:

lg(x² + 1) = t, t ≠ 0

[tex]\displaystyle t^2+t-2=0\\\\D=1-4\cdot(-2)=9\\\\t_1 = \frac{-1+3}{2} =1\\\\t_2=\frac{-1-3}{2}-2[/tex]

Теперь выполним обратную замену:

[tex]\displaystyle 1)\; lg(x^2+1)=1\\\\x^2+1=10^1\\\\x^2=9\\\\x_1=3;\;\;\;x_2=-3[/tex]

[tex]\displaystyle 2)\; lg(x^2+1)=-2\\\\x^2+1=10^{-2}\\\\x^2=\frac{1}{100} -1\\\\x^2=-0,99[/tex]

- не подходит, так как любое число в квадрате неотрицательно.

Ответ: -3; 3.