Рассмотрим последовательность операций, которые можно применить для нахождения наименьшего количества шариков, которое может остаться в коробке:

Вынимаем 30 шариков: остается 71 - 30 = 41 шарик.

Вынимаем еще 30 шариков: остается 41 - 30 = 11 шарик.

Возвращаем 18 шариков: остается 11 + 18 = 29 шариков.

Таким образом, наименьшее количество шариков, которое может остаться в коробке после применения операций, равно 29 шариков.

Ответ: Наименьшее возможное количество шариков это 5. Можно получить  4 раза убрав по 30 и 3 раза добавив по 18

Пошаговое объяснение:

1. Нельзя добиться чтобы шариков не осталось.

Доказательство :

Было 71 шарик - нечетное число.

Если от нечетного числа отнять  четное, то всегда получим нечетное.

Если к нечетному числу прибавить четное, то все равно останется нечетное.

Таким образом Том может повторять любую из разрешенных операций сколько угодно раз, но останется нечетное число шариков. Число 0 является четным.  Значит добиться чтобы шариков не осталось нельзя.

2. Покажем, что добиться, чтобы остался только 1 шарик тоже нельзя . Чтобы остался 1 , нужно убрать 70.

Предположим, что Том  х раз вынимает шарики , а у раз возвращает

Тогда имеем уравнение  70-30*x+18y=0 => 30x-18y=70

левая часть уравнения делится на 3, но правая (70) на 3 не делится.

Значит уравнение в целых числах решения не имеет.

=> 1 Шарик остаться не может.

3. 2 Шарика остаться также не могут по той же причине, что и 0.

2 число четное, но при всех разрешенных операциях должно остаться нечетное число шариков.

4.  3 шарика также остаться не могут. Для этого нужно убрать 68 шариков

Тогда 30х-18y=68

левая часть уравнения делится на 3, но правая (68) на 3 не делится.

Значит уравнение в целых числах решения не имеет.

=> 3 Шарика остаться не может.

5. 4 шарика не могут остаться по ой же причине, что 0 и 2.

6. Рассмотрим остаток  5 шариков. Для этого нужно убрать 66 шариков

30х-18y=66

=> 3у-5х=11  

целое решения : Например y=3 x=4

Проверяем 30*4-18*3=66 - верное равенство

Наименьшее возможное количество шариков это 5. Можно получить  4 раза убрав по 30 и 3 раза добавив по 18