Ответ:  [tex]96\sqrt{2} -128[/tex]

Объяснение:

Формула площади n-угольника через длину стороны:

[tex]S =\dfrac{na^2}{4} \cdot \mathrm{tg} \dfrac{180}{n}[/tex]

В нашем случае

[tex]a= 4\sqrt{2-\sqrt{2} } ~ cm \\\\ n= 8[/tex]

[tex]S =\dfrac{8\cdot \big (4 \sqrt{2-\sqrt{2} } ~ \big )^2 }{4} \cdot \mathrm{tg} \dfrac{180}{8} =\dfrac{8 \cdot16\cdot (2-\sqrt{2}) }{4} \cdot \text{\rm tg }\frac{45}{2} = \\\\ \dfrac{128(2-\sqrt{2} )(\sqrt{2}-1 )}{4}= 32 (3\sqrt{2}-4 )=96\sqrt{2}-128 \approx 7,764[/tex]


[tex]\rm tg \frac{45}{2}[/tex]   можно посчитать по формуле


[tex]\text{$\rm tg ^2$} \frac{a}{2} =\dfrac{1-\cos a}{1+\cos a}[/tex]

[tex]\text{$\rm tg ^2$} \frac{45}{2} =\dfrac{1-\cos 45}{1+\cos 45} \\\\ \text{$\rm tg^2 $} \frac{45}{2} =3-2\sqrt{2} \\\\\ \text{$\rm tg $} \frac{45}{2}=\sqrt{3-2\sqrt{2} } =\sqrt{2}-1[/tex]