Ответ:

Первообразная:

[tex]\boldsymbol{\boxed{F(x)=x^{3} -3x^{2} + 4x + C}}[/tex]

Примечание:

По таблице интегралов:

[tex]\boxed{\displaystyle \int x^{n} \ dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C; n \neq -1, x > 0}[/tex]

[tex]\boxed{ \int dx=x +C}[/tex]

По свойствам интегралов:

[tex]\boxed{ \displaystyle \int \sum\limits_{i=1}^n {C_{i}f_{i}(x)} \, dx = \sum\limits_{i=1}^nC_{i} \int {f_{i}(x)} \, dx}[/tex]

Объяснение:

Первообразная - такая функция, что её производная равна заданной функции, то есть [tex]f(x) =F'(x)[/tex]. Для того, чтобы найти функцию [tex]F(x)[/tex] проинтегрируем функцию [tex]f(x)[/tex].

[tex]\displaystyle F(x) = \int {f(x)} \, dx[/tex].

[tex]f(x) = 4 + 3x^{2} -6x[/tex]

[tex]\displaystyle \int {(4 + 3x^{2} -6x) } \, dx = \int {4 } \, dx + \int { 3x^{2} } \, dx- \int {6x } \, dx=[/tex]

[tex]\displaystyle =4 \int dx + 3\int { x^{2} } \, dx- 6\int {x } \, dx= 4x + C_{1} + x^{3} + C_{2} -3x^{2} +C_{3} =[/tex]

[tex]= 4x +x^{3} -3x^{2} +C =x^{3} -3x^{2} + 4x + C[/tex]