Ответ:

Вычислить сумму ряда   [tex]\bf \sum\limits _{n=1}^{\infty }\, \dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}[/tex]  .

Представим общий член ряда в виде :

[tex]\bf a_{n}=\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}=\dfrac{\frac{1}{2}}{n}+\dfrac{-1}{n+1}+\dfrac{\frac{1}{2}}{n+2}=\dfrac{1}{2}\cdot \Big(\dfrac{1}{n}-\dfrac{2}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}\Big)[/tex]  

Такое разложение можно получить , применяя метод неопределённых коэффициентов.

[tex]\bf \dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}=\dfrac{A}{n}+\dfrac{B}{n+1}+\dfrac{C}{n+2}=\\\\\\=\dfrac{A(n+1)(n+2)+Bn(n+2)+Cn(n+1)}{n(n+1)(n+2)}[/tex]  

Дроби равны, их знаменатели равны, приравниваем числители .

[tex]\bf A(n+1)(n+2)+Bn(n+2)+Cn(n+1)=1[/tex]

Многочлены равны при любых значениях  n . Придаём  n удобное значение и вычисляем неизвестный коэффициент.

[tex]\bf n=0\ \ \to \ \ A\cdot 1\cdot 2+B\cdot 0+C\cdot 0=1\ \ \ \to \ \ A=\dfrac{1}{2}\\\\n=-1\ \ \to \ \ A\cdot 0+B\cdot (-1)\cdot 1+C\cdot 0=1\ \ \to \ \ B=-1\\\\n=-2\ \ \to \ \ A\cdot 0+B\cdot 0+C\cdot (-2)\cdot (-1)=1\ \ \to \ \ C=\dfrac{1}{2}[/tex]    

Теперь составляем n-ую частичную сумму ряда и находим её предел . Чем больше членов суммы мы выпишем, тем понятнее будет, какие члены ряда в сумме дадут нули .

[tex]\bf S_{n}=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+...+a_{n-3}+a_{n-2}+a_{n-1}+a_{n}=\\\\=\dfrac{1}{2}\cdot \Big(1-1+\dfrac{1}{3}+\ \ \ \ \dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{4}+\ \ \ \ \dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{4}+\dfrac{1}{5}+\ \ \ \ \dfrac{1}{4}-\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{6}+...+\\\\\\+\dfrac{1}{5}-\dfrac{2}{6}+\dfrac{1}{7}+\ \ \ \ \dfrac{1}{6}-\dfrac{2}{7}+\dfrac{1}{8}+\, ...\, +\dfrac{1}{n-3}-\dfrac{2}{n-2}+\dfrac{1}{n-1}+[/tex]

[tex]\bf +\dfrac{1}{n-2}-\dfrac{2}{n-1}+\dfrac{1}{n}+\ \ \ \ \dfrac{1}{n-1}-\dfrac{2}{n}+\dfrac{1}{n+1}+\ \ \ \ +\dfrac{1}{n}-\dfrac{2}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}\Big)=\\\\\\=\dfrac{1}{2}\cdot \Big(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{2}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}\Big)=\dfrac{1}{2}\cdot \Big(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}\Big)[/tex]

[tex]\bf \lim\limits _{n \to \infty}\, S_{n}=\lim\limits _{n \to \infty}\, \dfrac{1}{2}\cdot \Big(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}\Big)=\dfrac{1}{2}\cdot \Big(\dfrac{1}{2}-0+0\Big)=\dfrac{1}{4}[/tex]    

Сумма ряда равна  0,25 .