Verified answer

Ответ:

1.   [tex]\displaystyle V=12\frac{2}{3}\;_{M^3}[/tex]

1.   [tex]\displaystyle V=144\frac{2}{3}\;_{M^3}[/tex]

Объяснение:

12. Радиусы окружностей оснований шарового слоя 3 м и 4 м, а радиус шара равен 5 м. Найдите объем шарового слоя (рассмотреть два случая).

Дано: Шар(О,R)

Окр.(А,R₁) и Окр.(Е,R₂) - основания шарового слоя.

R = 5м; R₁ = 3м; R₂ = 4м.

Найти: V шарового слоя.

Решение:

• Шаровым слоем называется часть шара расположенная между двумя параллельными плоскостями, пересекающими шар.

• Формула объема шарового слоя:

          V = (π / 6) * h * (3R² + 3r² + h²)

где R, r — радиусы оснований, h — высота.

1. Основания шарового слоя лежат по одну сторону от центра шара.

• Любое сечение шара плоскостью есть круг. Перпендикуляр, опущенный из центра шара на секущую плоскость, попадает в центр этого круга.

⇒ ОЕ ⊥ ЕС; ОА ⊥АВ.

Рассмотрим ΔЕОС - прямоугольный.

По теореме Пифагора:

ОЕ² = ОС² - ЕС² = 25 - 16 = 9   ⇒   ОЕ = 3 м.

Рассмотрим ΔАОВ - прямоугольный.

По теореме Пифагора:

ОА² = ОВ² - АВ² = 25 - 9 = 16   ⇒   ОА = 4 м.

h = ЕА = ОА - ОЕ = 4 - 3 = 1 (м)

Найдем объем:

[tex]\displaystyle V=\frac{1}{6}\cdot1\cdot(3\cdot4^2+3\cdot3^2+1^2)=\frac{1}{6}\cdot76=\frac{38}{3}=12\frac{2}{3}\;_{(M^3)}[/tex]

2. Основания шарового слоя лежат по разные стороны от центра шара.

Тогда h = AE = AO + OE = 4 + 3 = 7 (м)

Найдем объем:

[tex]\displaystyle V=\frac{1}{6}\cdot7\cdot(3\cdot4^2+3\cdot3^2+7^2)=\frac{7}{6}\cdot124=\frac{434}{3}=144\frac{2}{3}\;_{(M^3)}[/tex]