Ответ:

[tex]\bf sin3x=\dfrac{\sqrt2}{2}[/tex]  

Применяем формулу нахождения корней уравнения  [tex]\bf sinx=a\ \ \ \Rightarrow[/tex]  

  [tex]\bf x=(-1)^{n}\cdot arcsina+\pi n\ \ ,\ n\in Z[/tex]  

[tex]\bf 3x=(-1)^{n}\cdot \dfrac{\pi }{4}+\pi n\ \ ,\ \ n\in Z\\\\x=(-1)^{n}\cdot \dfrac{\pi }{12}+\dfrac{\pi n}{3}\ \ ,\ \ n\in Z[/tex]  

Корни, принадлежащие промежутку   [tex]\bf \Big[-\dfrac{3\pi }{2}\ ;\ \dfrac{\pi }{2}\ \Big][/tex]  - это  

[tex]\bf \pi=-\dfrac{5\pi }{4}\ ,\ -\dfrac{7\pi }{12}\ ,\ \dfrac{\pi }{12}\ ,\ -\dfrac{13\pi }{12}\ ,\ -\dfrac{5\pi }{12}\ ,\ \dfrac{\pi }{4}\ .[/tex]

[tex]\bf -\dfrac{\pi }{12}\ ,\ \dfrac{\pi }{4}\ \ .[/tex]  

Всего  6 корней .