Объяснение:

Для правильного трикутника, вписаного в коло, кожен радіус кола є бісектрисою кута відповідного до сторони трикутника. Також, оскільки трикутник правильний, то всі його сторони та кути однакові.

Звідси ми можемо скласти таку систему рівнянь:

бісектриса кута в правильному трикутнику є радіусом вписаного кола

бісектриса кута ділить відповідну сторону на дві рівні частини у правильному трикутнику

Оскільки кожен кут в правильному трикутнику дорівнює 60 градусів, то кожна бісектриса кута ділить відповідну сторону на дві рівні частини та утворює з цією стороною кут 30 градусів. Також, оскільки радіус кола є бісектрисою кута, то цей кут дорівнює 60 градусів. Тому, утворюючи трикутник з радіуса, бісектриси кута та відрізку сторони трикутника, ми отримаємо прямокутний трикутник з кутом 30 градусів, який можна розв'язати за допомогою тригонометрії.

Давайте позначимо сторону правильного трикутника як s. Оскільки бісектриса кута ділить відповідну сторону на дві рівні частини, то ми можемо позначити одну з цих частин як s/2. Тоді, за теоремою Піфагора для прямокутного трикутника з кутом 30 градусів, ми можемо записати:

s^2 = (s/2)^2 + r^2

де r - радіус вписаного кола, або бісектриса кута.

Підставляючи r = 8√3, ми можемо розв'язати для s:

s^2 = (s/2)^2 + (8√3)^2

s^2 = s^2/4 + 192

3s^2/4 = 192

s^2 = 256

s = 16

Отже,