Ответ:

[tex]\int\limits_{1}^{{e}^{2}}\sqrt{x}ln(x)dx[/tex]

1 слагаемое:u=ln(x)

2 слагаемое:dv=√x

дифференцируем первую часть:

[tex]du = \frac{d}{dx} ln(x)[/tex]

[tex]du = \frac{1}{x} [/tex]

интегрируем вторую часть:

[tex]v = \int \sqrt{x} dx[/tex]

[tex]v = \frac{ {2x}^{ \frac{3}{2} } }{3} [/tex]

[tex]\int{ \sqrt{x} ln(x)dx = \frac{2ln(x) {x}^{ \frac{3}{2} } }{3} - (\int{ \frac{2 \sqrt{x} }{3} dx})}[/tex]

[tex] \frac{4 {( {e}^{2}) }^{ \frac{3}{2} } }{3} - (\int\limits_{1}^{{e}^{2}}\frac{2 \sqrt{x} }{3}dx)[/tex]

[tex]\int \frac{2 \sqrt{x} }{3} dx = \frac{2(\int{ \sqrt{x} dx})}{3} [/tex]

[tex] \frac{4 {( {e}^{2}) }^{ \frac{3}{2} } }{3} + (-\frac{2(\int\limits_{1}^{{e}^{2}}\sqrt{x}dx)}{3})[/tex]

пусть x=u², тогда:

дифференцируем обе части:

[tex] \frac{d}{dx} x = \frac{d}{du} ( {u}^{2} )[/tex]

[tex]dx = 2udu[/tex]

[tex]\int\limits_{1}^{{e}^{2}}\sqrt{x}dx=\int\limits_{1}^{\sqrt{{e}^{2}}}2{u}^{2}du[/tex]

[tex]\frac{4{({e}^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}+(-\frac{2(\int\limits_{1}^{\sqrt{{e}^{2}}2{u}^{2}du)}}{3})[/tex]

2u²du не в вверху...(\frac{}{} забыл просто)

[tex]\int2 {u}^{2} du = 2(\int{ {u}^{2} du)}[/tex]

[tex] \frac{4 {( {e}^{2} )}^{ \frac{3}{2} } }{3} + ( - \frac{4(\int\limits_{1}^{\sqrt{{e}^{2}}} {u}^{2}du) }{3} )[/tex]

[tex] \int {u}^{2} du = \frac{ {u}^{2 + 1} }{2 + 1} [/tex]

[tex]\int {u}^{2} du = \frac{ {u}^{3} }{3} [/tex]

пределы определённого интеграла:

[tex] \frac{ \frac{ {u}^{3} }{3} }{u = \sqrt{ {e}^{2} } } - ( \frac{ \frac{ {u}^{3} }{3} }{u = 1} )[/tex]

[tex] \frac{8 {( {e}^{2}) }^{ \frac{3}{2} } }{9} + \frac{4}{9} [/tex]